Tải bản đầy đủ

Về một áp dụng của định lý điểm bất động vào bài toán dirichlet đối với hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính

TR

I H C QU C GIA HÀ N I
NG
I H C KHOA H C T NHIÊN
----------------------------

ng

cC

ng

V M T P
NG
A NH
I MB T
NG
O
I
N DIRICHLET

I V I H!
PH "NG #$NH ELLIPTIC N%A TUY&N 'NH

LU(N V)N TH C S* KHOA H C

Hà N i-2011


TR

I H C QU C GIA HÀ N I
NG
I H C KHOA H C T NHIÊN
----------------------------

ng

cC

ng

V M T P
NG
A NH
I MB T
NG
O
I
N DIRICHLET
IV I
H! PH "NG #$NH ELLIPTIC N%A TUY&N
'NH

Chuyên ngành: +n ,-.i /0ch
Mã s1: 60.46.01

LU(N V)N TH C S* KHOA H C

Ng


i h 2ng d3n khoa h4c:

PGS. TS.

NG QU C

Hà N i-2011
2

N


5 C

C

56c 76c

1

L i m8 9:u

2

L i ;.m
4

=0 hi>u

5

CH "NG 1. KI&N TH?C CHU@N

6

ng

6

1.1.

M ts

1.2.

H i

y u ......................................................................................................

7

1.3.

Không gian Sobolev.......................................................................................

8

1.4.
1.5.

nh

..................................................................

nt

a

a chung v ph

i

nh

o

m riêng

n Dirichlet.......................................................................

10

nh ! Lax-Milgram..................................................................................... 14

CH "NG 2. M T S

NH

V

I MB T

NG.................................... 18

2.1. " c

nh ! i#m b$t

ng

a nh % co.....................................................

18

2.2. " c

nh ! i#m b$t

ng

a nh % không &'n........................................

26

2.3. " c

nh ! i#m b$t

ng

a nh % liên

33

CH "NG 3.

I

N DIRICHLET

c.............................................

I V I H! PH "NG

CHAN....................

40

(t bài toán....................................................................................................

40

ELLIPTIC N%A TUY&N 'NH TRÊN MI N KHÔNG
3.1.

#$NH

3.2. S) t*n i

a nghi+m y u

a

i

n Dirichlet..........................................

43
50

L i kBt

52

i li>u tham CD.o

3


L I ME FU
Ph ng nh vi phân o m riêng b môn khoa ,c -.p nghiên
c/u r$t nhi u i
n /ng & ng 0 c nhau nh : ng l)c ,c, i+n ,c,
quang ,c, ! thuy t n h*i.... Ph ng nh vi phân o m riêng 1n 2
m i quan h+ quan ,ng v3i ! thuy t % c su$t . Hi+n nay ph ng nh vi
phân ng4u nhiên công
n ,c
y u nghiên c/u m t v$n
quan
,ng trong nh v)c kinh t i 5nh
nh - c6 phi u. M t s nh v)c
n ,c hi+n i 0 c nh : 7! thuy t bi#u di8n 2m, 7! thuy t tr 9ng
l :ng t , 7! thuy t c không gian thu;n nh$t < V=t !
n trong 2
ph ng nh vi phân o m riêng 2ng vai 1 quan ,ng. M t nh v)c
quan ,ng nh$t trên ph ng di+n /ng & ng, 2
5nh
n khoa ,c >
m t trong nh?ng n i dung
y u a 2
-@i c ph ng nh vi phân
o m riêng.
Tuy nhiên nhi u i
n ph ng nh vi phân o m riêng >
vi+c m nghi+m a 2 r$t ph/c p m(c &A 2 0
n -@n v m(t c$u
.c. B2i chung không 2 ph ng C p chung # -@i c ph ng nh vi
phân o m riêng. i u ng 9i ta quan tâm khi nghiên c/u c ph ng
nh vi phân o m riêng
5nh t*n i < t*n i duy nh$t nghi+m a
2.
V3i
i "VG mHt +p I6ng ;Ja 9Knh 7L 9iMm bNt 9Hng O o P i
/ +n Dirichlet 91i v2i h> ph tôi nghiên c/u /ng & ng a nh ! i#m b$t ng a nh % co m i u
kiên t*n i nghi+m a i
n Dirichlet i v3i h+ ph ng nh elliptic
n a tuy n 5nh trên mi n không ch(n.
N i dung a lu=n vDn
:c nh y d)a trên i o "On a
System of Semilinear Elliptic Equations on an Unbounded Domain"
a PGS. TS.
ng Qu1c
n. E i o :c Dng bFi p 5 n ,c
Vi+t Nam (Viet Nam journal of Mathematics).
B
c a lu=n vDn g*m 2 ba ch ng.
Ch Trong ch ng y .ng tôi nh y m t s ki n th/c chuGn
g*m m t s
nh
a chung v ph ng nh vi phân o m riêng, 0 i
ni+m h i y u, không gian Sobolev, n t
a i n Dirichlet, nh !
Lax-Milgram.
Ch Trong ch ng y .ng tôi nh y m t s k t HI@ quan ,ng <
c ch/ng minh chi ti t Jng nh m t s <5 & minh ,a /ng & ng a m t
4


s
nh ! trong ! thuy t v i#m b$t ng. "2 K k t HI@ n6i ti ng nh$t
trong ! thuy t v i#m b$t ng nguyên ! nh % co Banach. 2
!
do .ng tôi bLt ;u ch ng y bMng vi+c nh y v nh % co < m t
ch/ng minh a nguyên ! y. 2 Jng c sF
y u # m i u ki+n
t*n i nghi+m a i n Dirichlet cho h+ ph ng nh elliptic n a tuy n
5nh. Trong ch ng hai .ng tôi 1n nh y thêm m t s k t HI@ 0 c
a ! thuy t i#m b$t ng < m t s v5 & /ng & ng ' :c nghiên c/u.
N i dung ch ng hai :c tham 0 @o
y u tN i li+u [6].
Ch ph tuyBn /0nh trên miGn U+c 9Knh không PK chVn.
Trong ch ng y .ng tôi nh y c k t HI@ nghiên c/u v s)
t*n i a nghi+m y u a i
n Dirichlet cho h+ ph ng nh elliptic
n a tuy n 5nh trên m t mi n không ch(n trong n . " c ch/ng minh
y u d)a trên nh ! i#m b$t ng trong không gian Banach. N i dung
ch ng 3 :c trình bày d)a trên tài li+u [5].

5


L I WM "N
B@n lu=n vDn này

:c hoàn thành d 3i s) h 3ng d4n t=n tình c a

PGS. TS. HOÀNG QU C TOÀN, Tr 9ng

i h,c Khoa h,c T) nhiên –

i h,c Qu c gia O N i. Th;y là ng 9i

xu$t, dành nhi u th9i gian

h 3ng d4n, s a các lPi cJng nh gi@i áp các thLc mLc c a tôi trong su t
quá trình làm lu=n vDn. Tôi mu n bày tQ lòng bi t n sâu sLc nh$t

n

ng 9i th;y c a mình.
Tôi xin c@m n Tr 9ng THPT Chu VDn An, 7 ng S n ã giúp R,
t o i u ki+n thu=n l:i cho tôi hoàn thành khoá h,c này. Và tôi cJng xin
cám n Xeminar c a b môn Gi@i tích, Tr 9ng

i h,c Khoa h,c T) nhiên

ã giúp tôi b6 sung, c ng c các ki n th/c v Lý thuy t ph

ng trình

o

hàm riêng.
Qua ây, tôi xin g i t3i các th;y cô Khoa Toán- C - Tin h,c, Tr 9ng
i h,c Khoa h,c T) nhiên,

i h,c Qu c gia Hà n i, cJng nh các th;y

cô ã tham gia gi@ng d y khóa cao h,c 2008-2010, l9i c@m n

i v3i công

lao d y dP trong su t quá trình ,c t=p i nhà tr 9ng.
Tôi xin c@m n gia ình, b n bè và t$t c@ m,i ng 9i ã quan tâm, t o
i u ki+n,

ng viên c6 vJ tôi # tôi có th# hoàn thành nhi+m v c a mình.
Hà n i, tháng 12 nDm 2010
ng

6

cC

ng


=' HI!U
MHt s1 C0 hi>u th

ng IXng trong luYn vZn

1. N : không gian Euclide th)c N chi u
2. ∂Ω : Biên a Ω , Ω = Ω ∪ ∂Ω : bao 2ng

a Ω.

3.

y t*n i. S! hi+u

∂u ( x )
u ( x + hei ) − u ( x )
n u gi3i
= lim
h

0
∂xi
h

ei = ( 0, 0,

, 0, i, 0,

, 0 ) : Vect

n

u xi ,

n < th/ i.

4. α = (α1 , α 2 , , α N ) : a T s . α i ∈ +
α = α1 + α 2 + + α N : b=c a a T s .

, i 2 = −1, D = ( D1 , D2 ,
∂x j

5. D j = −i

αj

αj

D j = ( −1)
N

6. ∆u =

i =1

α

∂ j
∂α
α
α
, D = ( −1)
α
∂x1α1 ∂x2α 2 ∂xαNN
∂x j j

u xi xi = tr ( D 2u ) :

7. C ( Ω ) : không gian

( )

C Ω : không gian

n t Laplace
m u :Ω →

c

m u ∈ C ( Ω ) , u liên

c
C ∞ ( Ω ) : không gian c

( )


k =0

a u.

c

C k ( Ω ) : không gian

C∞ Ω =

, DN ) : Vect gradient

liên

m u :Ω →
m u :Ω →

c

u.

0 @ vi n c$p k
0 @ vô n

( )

( )

c.

C k Ω v3i C k Ω : không gian

c

m u ∈ C k ( Ω ) , Dα u

liên

c u v3i >,i α , α ≤ k .
C0k ( Ω ) : không gian c m u ∈ C k ( Ω ) , u 2 - compact
8. Lp ( Ω ) : không gian c m u : Ω → , u o :c Lebesgue
u

Lp ( Ω )

<∞

Trong 2
p

u

L (Ω)
p

=

u dx

1
p

,

1≤ p < ∞



ess sup u ,

p=∞



m th)c o :c.
v3i ess sup f = inf {µ ∈ , { f > µ} = 0} , f
p
Lloc ( Ω )
không gian c m u : Ω → , u ∈ Lp (U ) v3i >,i U
con compact trong Ω .
9. C k ,α ( Ω ) , C k ,α ( Ω ) , k = 1, 2, ; 0 ≤ α ≤ 1 : c không gian Hölder.
o

10. W pk ( Ω ) , H k ( Ω ) , H k ( Ω ) , k = 0,1, ; 1 ≤ p ≤ ∞ :
7

t=p

c không gian Sobolev.


CH

NG

1

KI N TH C CHU N

1.1. MHt s1 9Knh [,D\a chung vG ph M t ph ng nh o m riêng m t ph ng nh 2 ch/a nhi u bi n ch a bi t <
m ts
o m riêng a 2. Cho k ∈ * < U t=p mF trong n .
Knh [,D\a 1.1. M t bi#u th/c 2 & ng
F ( x, u ( x ) , Du ( x ) ,

(1.1)
:c , i

m t ph

ng

nh

m riêng b c k. Trong 2

o

F :U × ×

n

, D k u ( x ) ) = 0 v3i x ∈ U

×

×

nk

m cho tr 3c



<

m c;n m

u :U →

Ta 2i ph ng
>'n (1.1).

nh (1.1)

Knh [,D\a 1.2. Ph
& ng

ng

:c ,i

gi i

nh

m riêng (1.1)

o

cn u m

:c t$t @

:c , i

c

α ≤k

f ( x)

Ph

ng

nh

:c , i

Ph

ng

nh

o

c

m ' cho.

tuy n nh thu n nh t n u f ≡ 0

m riêng (1.1)

α =k

:c , i

n a tuy n nh n u 2 2 & ng

aα ( x ) Dα u + a0 ( x, u, Du,

8

, D k −1u ) = 0

Qa

tuy n nh n u 2 2

aα ( x ) Dα u = f ( x )
Trong 2 aα ( x ) <

ms u


Ph

ng

nh

o

α =k

Ph ng
5nh < o

m riêng (1.1)

aα ( x, u, Du,

:c , i

t a tuy n nh n u 2 2 & ng

, D k −1u ) Dα u + a0 ( x, u , Du ,

nh o m riêng (1.1) :c ,i
o m riêng b=c cao nh$t.

, D k −1u ) = 0

phi tuy n n u 2 C

thu c không tuy n

1.2. HHi /6 yBu
Cho X

không gian Banach

Knh [,D\a 1.3. U'y {un } ch/a trong X

:c , i

h i

y u

n u∈X n u

u * , un → u * , u v3i >,i u * ∈ X *

NhYn U^t 1.1.
1. N u &'y {un } h i
nu
&'y {un } h i y u
2. M t &'y h i y u &'y ch(n
u ≤ lim inf un
3. N u {un } h i y u n u

n u.

n →∞

Knh 7L 1.1. Cho X

Khi

t n

im t

không gian Banach

{ }

( ( X *) * = X )

n

{ }h i

y con unk ⊂ {un }

u ∈ X sao cho unk

y {un }
y u

ch n.

n u.

NhYn U^t 1.2.
1. M t &'y

ch(n trong không gian Hilbert ch/a m t &'y con h i y u.
1 1
2. VWt X = Lp ( Ω )
X * = Lq ( Ω ) ,
+ = 1 , 1 < q ≤ ∞ . M t phi m m tuy n
p q
5nh ch(n f trên Lp ( Ω ) 2 th# :c bi#u di8n d 3i & ng
fgdx , g ∈ Lq ( Ω )

f


TN 2 f n h i

y u

n f thu c Lp ( Ω )

gf n dx → fgdx , khi n → ∞ v3i >,i g ∈ Lq ( Ω )

(1.2)


X Lp ( Ω )

a :

không gian



a Lq ( Ω ) , do 2 Lp ( Ω )

i ng4u

C @n % n u

ch(n trong L ( Ω ) v3i 1 < p < ∞ 2 th# 5ch ra
1 < q < ∞ . V=y tN mPi &'y
m t &'y con h i
y u Qa >'n (1.2). KhYng nh y r$t quan ,ng v 5nh
compact.
p

Knh 7L 1.2. !" s

y { fn}

y #$c

m trong Lp ( Ω ) sao cho

9


fn − f

Khi

t n

Lp ( Ω )

→0

{ }

y con f nk ⊂ { f n } sao cho:

im t

1. f nk → f h.k.n trên Ω .
h.k.n trên Ω v%i h ∈ Lp ( Ω ) .

2. f nk ( x ) ≤ h ( x ) v%i &'i k

1.3. Không gian Sobolev.
Knh [,D\a 1.4. (Không gian Sobolev) Không gian Sobolev
W pk ( Ω ) = {u : Ω →

: Dα u ∈ Lp ( Ω ) , ∀ α ≤ k }

NhYn U^t 1.3.
1. V3i p = 2 , không gian H k ( Ω ) = W2k ( Ω ) , k = 0,1,

2. H

0

không gian Hilbert.

(Ω) ≡ L (Ω)
2

Knh [,D\a 1.5.
1. N u u ∈ W pk ( Ω )

chuGn

au

:c % c

nh nh sau:

p

u

W pk

:=
(Ω)

Dα u dx

1
p

,

1≤ p < ∞

α ≤k Ω

ess sup Dα u ,
α ≤k

2. Cho &'y {un } , u ∈ Wpk ( Ω ) . Khi 2 {un }
lim un − u
n →∞

p=∞



:c , i
W pk ( Ω )

h i

n u trong W pk ( Ω ) n u

=0

S5 hi+u un → u trong W pk ( Ω ) .
Knh 7L 1.3.
1. V%i m(i k = 1, 2,
không gian
1 ≤ p ≤ ∞ không gian Sobolev W pk ( Ω )
Banach.
2. Không gian Sobolev W pk ( Ω )
không gian
n
n u
# ) n u 1< p < ∞ . H n

n*a W2k ( Ω )

không gian Hilbert v%i ch vô h %ng

10


u, v

W2k ( Ω )

D a uDα vdx

=
α ≤k Ω

NhYn U^t 1.4.

1. Z,i bao 2ng

o

W pk ( Ω ) . Khi 2

a C0∞ ( Ω ) trong W pk ( Ω )
o

W pk ( Ω ) = C0∞ ( Ω ) trong W pk ( Ω )

{

= u ∈ Wpk ( Ω ) : Dα u

∂Ω

}

= 0, ∀ α ≤ k − 1

o

2. H 0k ( Ω ) = W2k ( Ω )
Knh [,D\a 1.6. Không gian

H −k ( Ω) . M t

m f ∈ H −k ( Ω ) n u f

Trong ph;n y ta xWt
vai 1 quan ,ng.

c

a không gian H 0k ( Ω )

+i ng,u

nh !

phi m

ch(n trên H 0k ( Ω ) .

m tuy n 5nh

.ng > trong 2

nh !

:c 05 hi+u

.ng Sobolev 2ng m t

Knh [,D\a 1.7. Z-@ s X < Y
c không gian Banach.
1. X :c ,i - .ng liên c trong Y n u t*n i nh % tuy n 5nh
i: X →Y

sao cho
i ( x) Y ≤ c x

X

, v3i ∀ x ∈ X .

v3i c > 0 hMng s .
Khi 2 ta *ng nh$t X v3i không gian con i ( X ) ⊂ Y .
2. X :c ,i - .ng compact < o Y n u nh % i bi n t=p con
t=p compact t ng i trong Y.
Knh 7L 1.4. Cho Ω ⊂

N

#

N

o Lebesgue

ch(n trong X

nh

(Ω) < ∞ , 1 ≤ p ≤ q < ∞

Lq ( Ω ) ⊂ Lp ( Ω )
N u

N

( Ω ) = +∞

- i chung

Knh 7L 1.5. !" s Ω

Khi

( )

C k ,β Ω

nh / không .ng.

mi0n compact t

- .ng liên

N

ng +i trong

( )

c trong C k ,α Ω

Knh 7L 1.6. ( Knh 7L [D_ng Sobolev) !" s
Lipschitz, k ∈ , 1 ≤ p ≤ ∞ . Khi

11

k∈

, 0 ≤ α < β ≤ 1.

mi0n

ch n v%i biên

compact.
Ω⊂

N


1. N u kp < N , 1 ≤ q ≤
1p - .ng

Np
N − kp

ta # W pk ( Ω )

compact n u q <

2. N u 0 ≤ m < k −

- .ng liên

Np
.
N − kp

N
N
< m +1 , 0 ≤ α ≤ k − m −
p
p

( )

trong C m ,α Ω

c trong Lq ( Ω )

W pk ( Ω ) - .ng liên

ta #

compact n u α < k − m −

1p - .ng

c

N
.
p
o

NhYn U^t 1.5. nh !
mi n Ω ch(n.

c không gian W pk ( Ω ) trên >,i

.ng Sobolev v4n .ng trong

Knh 7L 1.7. (BNt 9`ng th c a -;bQ^) !" s Ω
3 nh #4a Ω , u ∈ H 01 ( Ω ) . Khi

mi0n

2

ch n trong

N

,d

2ng

2

u dx ≤ d 2 Du dx


Knh 7L 1.8. !" s

Ω⊂

N



ch n thu c l%p C 1 , t n

mi0n

i h5ng s+ c = c ( Ω )

sao cho v%i &'i u ∈ H 01 ( Ω ) ta #
2

2

u dx ≤ c 2


1.4.

2

u dσ

Du dx +


∂Ω

+n tS ;Ja P i / +n Dirichlet.

S5 hi+u H −1 ( Ω ) = ( H 01 ( Ω ) )

*

không gian

c phi m

m tuy n 5nh liên

H (Ω) , L ( Ω) ⊂ H (Ω) .
Ta 0! hi+u −∆
nt
1
0

2

−1

−∆ : H 01 ( Ω ) → H −1 ( Ω )

(1.3)
% c

(1.4)

nh theo công th/c

( −∆u, v ) = ( Du, Dv ) , v3i >,i u, v ∈ H 01 ( Ω )

Khi 2 v3i u , v ∈ C0∞ ( Ω ) ta 2

( −∆u, v ) =

DuDvdx


12

c trên


∂u ∂v
.
dx
i =1 Ω ∂xi ∂xi
N

=

N

=
i =1 Ω


∂u
∂ 2u
v
− v 2 dx
∂xi ∂xi
∂xi

∂ 2u
vdx +
2
i =1 Ω ∂xi
N

=−

∂ 2u
∂xi2

N

=


i =1



∂u
cos ( xi , v ) dS
i =1 ∂Ω ∂xi
N

vdx, ∀v ∈ C0∞ ( Ω )

TN 2 suy ra
n

∆u =
i =1

∂ 2u
∂xi2

n t Laplace.

n t −∆ :c % c nh bFi (1.3) < (1.4) :c ,i
nt
v3i i u ki+n biên thu;n nh$t i v3i ph ng nh Laplace.

a

i

n Dirichlet

−∆u = f ( x ) trong Ω

(1.5)

trên ∂Ω

u=0

Knh [,D\a 1.8. Z-@ s f ( x ) ∈ L2 ( Ω ) , m u ( x ) ∈ H 01 ( Ω )
(nghi6m y u) a i n Dirichlet (1.5) n u

( Du, Dv ) = ( f , v )

,i

nghi6m suy r ng

v3i ∀v ∈ C0∞ ( Ω )

D_ L:

N u nghi6m
u ∈ H (Ω) ∩ C 2 ( Ω)
1
0

u ∈ H 01 ( Ω )

0

v∈C

suy r ng c4a bài toán (1.5) th7a mãn
u nghi6m c8 i9n #4a i :$n (1.5).Th t v y:

nghi6m suy r ng #4a

i :$n (1.5) thì

( Du, Dv ) = ( f , v )

i0u

ki6n

v%i m'i

( Ω) .
n

u ∈ C 2 ( Ω ) thì ( Du , Dv ) = ( −∆u , v ) , trong

∆u =
i =1

Suy ra ( −∆u , v ) = ( f , v ) v%i m'i v ∈ C
c8 i9n #4a i :$n (1.5).


0

Ti p theo ta %Wt ph6
Theo inh

a

( Ω ) . Hay

∂ 2u
, v%i m'i v ∈ C0∞ ( Ω ) .
∂xi2

−∆u = f trong Ω . Hay u

n t −∆ .

a ta 2 v3i ∀u ∈ H 01 ( Ω )

( −∆u, u ) = ( Du, Du ) =

Du

13

2
L2 ( Ω )

≥γ u

2
H 01 ( Ω )

, γ ≥0

nghi6m


suy ra

γ u

2
H 01 ( Ω )

≤ ( −∆u , u ) ≤ ∆u

.u

H −1 ( Ω )

H 01 ( Ω )

do 2
∆u

Sau ây

H −1 ( Ω )

≥ C. u

nh ! quan ,ng v 5nh ch$t

H 01 ( Ω )

n t −∆ .

a

Knh 7L 1.9. ;:$n t −∆ : H 01 ( Ω ) → H −1 ( Ω )

ChCó −∆ là ánh x tuy n tính < liên c.

∆u H −1 ( Ω ) ≥ C. u
suy ra −∆ là

lim

H

lên.

, u ∈ H 01 ( Ω )

H 01 ( Ω )

( −∆u ) − ( −∆u )
j

k

≤ γ ( −∆u j ) − ( −∆uk )

H −1 ( Ω )

H −1 ( Ω )

=0

. V=y {un } là dãy Cauchy trong H 01 ( Ω )

n u0 ∈ H 01 ( Ω ) .

nên nó h i t
−1

H 01 ( Ω )

1-1

n v0 . Vì {−∆ ( un )} là dãy Cauchy trong R ( −∆ ) nên:

j , k →∞

Do ánh x

$nh

n ánh. Gi@ s mi n giá tr c a −∆ là R ( −∆ ) . Ta l$y dãy {−∆ ( un )}

trong R ( −∆ ) h i t

suy ra u j − uk

, u ∈ H 01 ( Ω ) .

−∆ là liên t c nên −∆ ( u0 ) = v0 . V=y mi n giá tr R ( −∆ ) là óng trong

( Ω ) , hay −∆



n ánh có mi n giá tr

óng.

Gi@ s t*n t i ph;n t u0 ∈ H ( Ω ) tr)c giao v3i mi n giá tr R ( −∆ ) ⊂ H −1 ( Ω ) , t/c là
1
0

( −∆u, u0 ) = 0

v3i m,i u ∈ H 01 ( Ω ) . Ta (t u = u0 thì ( −∆u0 , u0 ) = 0 , suy ra u0 = 0 . V=y

−∆ là ánh x lên, t/c là R ( −∆ ) = H −1 ( Ω ) .
H> cd. 1.1. V%i &'i f ( x ) ∈ L ( Ω )
2

i :$n Dirichlet (1.5) t n

i duy nh t nghi6m

suy r ng (nghi6m y u) u0 ∈ H 1 ( Ω ) .
ChGi@ s f ∈ L2 ( Ω ) ⊂ H −1 ( Ω ) . Theo

nh lí 1.9, t*n t i duy nh$t u0 ∈ H 01 ( Ω ) sao cho

( −∆u0 , v ) = ( Du0 , Dv ) = ( f , v ) , v3i m,i

v ∈ C0∞ ( Ω ) .

i u ó có ngh a là u0 là nghi+m

suy r ng c a bài toán Dirichlet.
S5 hi+u T : H −1 ( Ω ) → H 01 ( Ω )

n t

u , v ∈ H 01 ( Ω ) . (t ϕ = −∆u , ψ = −∆v khi 2

14

ch

@o

a

n t

−∆ . Z-@ s


(Tϕ ,ψ ) = ( −T ∆u, −∆v ) = ( u, −∆v ) = ( Du, Dv ) = ( −∆u, v ) = (ϕ , Tψ ) .
V=y ta 2 (T ϕ ,ψ ) = (ϕ , Tψ ) , v3i >,i ϕ ,ψ ∈ L2 ( Ω )
Do 2

n ch

n t T trên L2 ( Ω )

a

.ng H 01 ( Ω ) < o L2 ( Ω )

n t t) liên h:p T = T * . M(t 0 c C Wp
n ch trên L2 ( Ω )

compact cho nên

T : L2 ( Ω ) → H 01 ( Ω ) ⊂ L2 ( Ω )

a

nt

compact, t) liên h:p.

H n n?a v3i >,i ϕ ∈ L2 ( Ω ) , t*n i duy nh$t u ∈ H 01 ( Ω ) sao cho: −∆u = ϕ . Ta 2:

Ta 2 5nh ch$t sau v

u

nt

n t −∆ .

Knh 7L 1.10. ;:$n t -= ch
t liên h p trong L2 ( Ω ) .
NhYn U^t 1.6.

nh !

m riêng {u j } j =1


a

2

(Tϕ ,ψ ) = ( u, −∆u ) ≥ γ
ch @o

a

H 01 ( Ω )

o T #4a :$n t −∆

y cho ta s) t*n

, γ ≥ 0.

:$n t compact, $c

nh d

i m t c sF tr)c giao trong L2 ( Ω ) g*m

n t T /ng v3i

c -

ng

c

riêng {µ j } j =1 , µ j > 0 , µ j ↓ 0 khi


j → +∞ , t/c
Tu j = µ j u j , µ j ↓ 0 khi j → +∞

(1.6)

X T : H −1 ( Ω ) → H 01 ( Ω ) nên tN (1.6) suy ra u j ∈ H 01 ( Ω ) v3i ∀j = 1, 2,
"Jng tN (1.6) ta 2

−∆u j = λ j u j , λ j =

X v=y

nt

−∆ Jng 2 &'y

riêng {λ j }
j =1


giá

1.5.

c

m riêng l=p

µj

, λ j → +∞

m riêng {u j } trong H 01 ( Ω ) /ng v3i &'y
j =1


c

n i+u tDng khi j → +∞ ,

0 < λ1 < λ2 ≤ λ3 ≤

<

1

.

≤ λj ≤

, λ j → +∞ khi j → +∞

nh m t c sF tr)c giao trong L2 ( Ω ) .

Knh 7L Lax-Milgram
15

c


Knh lý 1.11. Gi s X là không gian Hilbert th c, a(u, v) là phi m hàm song tuy n tính
th c trên X. Gi s a(u, v) th7a mãn các i0u ki6n.

i.

T n t i c > 0 sao cho a ( u , v ) ≤ c u . v , ∀u , v ∈ X

ii.

T n t i γ > 0 sao cho a ( u , u ) ≥ γ u , ∀u ∈ X

2

Khi ó m'i phi m hàm tuy n tính liên t c F ( u ) trên X 0u t n t i f ∈ X sao cho
F ( u ) = a ( u, f ) , u ∈ X
ChL$y u ∈ X c
Theo i. ta có:

nh. Khi ó u ( v ) = a ( u, v ) là phi m hàm tuy n tính trên X.

u ( v ) = a ( u , v ) ≤ c u . v , ∀v ∈ X

V=y u ( v ) là phi m hàm tuy n tính liên t c trên X. Theo

nh lý Riesz-Frechet, t*n t i

m t ph;n t kí hi+u là Au ∈ X sao cho:

u ( v ) = ( Au, v ) , v3i ∀v ∈ X
V= y

a ( u, v ) = ( Au, v ) , v3i ∀v ∈ X
và ta có m t toán t
A: X → X
u

Au

A là toán t tuy n tính. Theo i. ta có:
2

Au = ( Au , Au ) = a ( u , Au ) ≤ c u . Au , v3i ∀u ∈ X

V y

Au ≤ c u , ∀u ∈ X
suy ra A : X → X là toán t liên t c. H n n?a v3i u1 , u2 ∈ X mà

Au1 ≠ Au2

(1.7)
2

M(t khác v3i m,i u ∈ X , u ≤

1

γ

a ( u, u ) =

1

γ

TN ó:

16

u1 ≠ u2

( Au, u ) ≤

c

γ

Au . u


(1.8)

u ≤

c

Au , ∀u ∈ X

γ

Do ó v3i u1 , u2 ∈ X mà
(1.9)

u1 ≠ u2

Au1 ≠ Au2

TN (1.7) và (1.9) suy ra A : X → X là ánh x 1 – 1.
Kí hi+u A ( X ) = { Au, u ∈ X } , ta ch/ng minh A ( X ) óng trong X.
Th=t v=y; gi@ s

{ Au } là dãy h
j

n v ∈ X . Vì { Au j } là dãy Cauchy trong X , ta

it

có:
lim Au j − Auk = 0

j , k →∞

TN (1.8) ta có: u j − uk ≤

c

γ

Au j − Auk . V=y {u j } là dãy Cauchy trong X, nên t*n t i

u ∈ X sao cho:

lim u j = u
j →∞

Do A là ánh x liên t c nên Au = v ∈ A ( X ) , hay A ( X ) là óng trong X.
Ta ch/ng minh A ( X ) = X .
A ( X ) ⊂ X , A óng. L$y u ∈ X , u ∉ A ( X ) , tr)c giao v3i A ( X ) , t/c là

Gi@ s

( u, Au ) = a ( u, u ) = 0
2

Vì u ≤

1

γ

a ( u , u ) = 0 nên u = 0 , t/c là A ( X ) = X .

V=y A : X → X là song ánh.
Gi@ s F ( u ) là phi m hàm tuy n tính liên t c trên X . Theo

nh lý Riesz-Frechet, t*n

t i duy nh$t g ∈ X sao cho

F (u ) = ( g, u )
Khi ó t*n t i f ∈ X sao cho g = Af . Do ó

F ( u ) = ( g , u ) = ( Af , u ) = a ( f , u ) , v3i ∀u ∈ X
V=y ta có i u ph@i ch/ng minh.
Chú ý:

17


-

Yng c$u A : X → X

:c xây d)ng trong

( Au, v ) = a ( u, v ) ,

nh lý Lax-Milgram sao cho

∀u, v ∈ X

:c g,i là toán t liên k t v3i d ng song tuy n tính a ( u, v ) trên không

-

gian Hilbert X. Hay a ( u, v ) :c g,i là d ng song tuy n tính liên k t v3i
toán t A.
D ng song tuy n tính liên t c a ( u, v ) :c g,i là Qa >'n i0u ki6n

b 0 sao cho
2
a ( u , u ) ≥ c u , v3i ∀u ∈ X
Knh 7L 1.12. N u a (.,.) là d ng song tuy n tính liên t c

7a & n i0u ki6n b
toán t A liên k t v%i d ng song tuy n tính a ( u , v ) là m t >ng c u t? V lên V’.
Trong ó V là không gian Hilbert phki6n: ( u, v ) = ( v, u ) , v%i ∀u , v ∈ V . V’ là không gian +i ng,u c4a V
.
ChA là toán t liên t c. Th=t v=y:
2

Au = ( Au , Au ) = a ( u , Au ) ≤ u . Au , ∀u ∈ V

hay Au ≤ u .

A là n ánh:
N u Au = 0 thì ( Au, u ) = a ( u, u ) = 0 . V=y u = 0 .
[nh c a A là trù m=t. Ta c;n ch/ng minh rMng n u u ∈ V , tr)c giao v3i Im A thì u = 0 .
Khi ó u tr)c giao v3i Au , hay

( Au, u ) = 0

a ( u, u ) = 0

u =0.

[nh c a A là óng.
Chú ý rMng v3i ∀v ∈ V ta có:
Av V ' = sup
w ≠0

suy ra
(1.10)
N u dãy { Av j } h i t

( Av, w )
w



( Av, v )
vV

V

=

a ( v, u )
≥c v V
vV

∀v ∈V : Av V ' ≥ c v V
n f ∈ V ' thì {v j } h i t


Av = f

18

n v ∈ V . Do tính liên t c c a A ta


Suy ra @nh c a A là óng trong V’.
V=y A là song ánh tN V lên V’.
TN b$t Yng th/c (1.14) và
là Yng c$u tN V lên V’.

nh lý Banach v ánh x ng :c suy ra A−1 liên t c. V=y A

19


CH

M TS

NH LÝ V

I MB T

NG

2
NG

Trong ch ng này, chúng tôi trình bày m t s
nh lý v i#m b$t ng c a ánh
x co, ánh x không dãn, ánh x liên t c và m t s /ng d ng c a nó. Trong s ó, nh
lý v i#m b$t ng c a ánh x co trong không gian Banach sK :c áp d ng # gi@i
quy t bài toán F ch ng sau.

2.1. Các 9Knh lý 9iMm bNt 9Hng cJa ánh x] co.
Cho ( X , d ) là m t không gian metric. M t ánh x F : X → X
:c g,i là m t
ánh x Lipschitz (Lipschitzian) n u t*n t i m t hMng s α không âm sao cho:
(2.1)

d ( F ( x ) , F ( y ) ) ≤ α d ( x, y ) v3i m,i x, y ∈ X .

Chú ý rMng mPi ánh x Lipschitz u liên t c trên X. HMng s α nhQ nh$t thQa mãn
(2.1) :c g,i là hMng s Lipschitz i v3i F kí hi+u là L. N u L < 1 thì ta nói F là ánh
x co, L = 1 thì ta nói F là ánh x không dãn.
Cho F : X → X , x ∈ X , ta xác d nh bMng qui n p dãy {F n ( x )} nh sau:
F 0 ( x ) = x, F n +1 ( x ) = F ( F n ( x ) ) , ∀n ∈ .

Knh lý 2.1. Cho ( X , d ) là không gian metric 4 và cho F : X → X là ánh x co v%i
h5ng s+ Lipschitz L. Khi ó F có m t i9m b t ng duy nh t u ∈ X . Ngoài ra v%i m'i
x ∈ X ta có:
lim F n ( x ) = u
n →∞


d ( F n ( x) , u ) ≤

Ln
d ( x, F ( x ) )
1− L

ChTr 3c h t ta ch/ng minh tính duy nh$t.
Gi@ s t*n t i x, y ∈ X sao cho F ( x ) = x và F ( y ) = y . Khi ó:

20


d ( x, y ) = d ( F ( x ) , F ( y ) ) ≤ L.d ( x, y )

(1 − L ) d ( x, y ) ≤ 0
d ( x, y ) = 0
x= y

Tính t*n t i.
L$y x ∈ X . Ta sK ch/ng minh {F n ( x )} là m t dãy Cauchy.
Ta có:
d ( F n ( x ) , F n +1 ( x ) ) ≤ L.d ( F n −1 ( x ) , F n ( x ) ) ≤

≤ Ln .d ( x, F ( x ) )

V3 i m > n , n ∈ :
d ( F n ( x ) , F m ( x ) ) ≤ d ( F n ( x ) , F n +1 ( x ) ) + d ( F n ( x ) , F n +1 ( x ) ) +
+

+ d ( F m −1 ( x ) , F m ( x ) )

≤ Ln .d ( x, F ( x ) ) +

+ Lm−1.d ( x, F ( x ) )

≤ Ln .d ( x, F ( x ) ) 1 + L + L2 +
=

Ln
d ( x, F ( x ) )
1− L

V=y v3i m > n, n ∈
d ( F n ( x ) , F m ( x )) ≤

(2.2)

Ln
d ( x, F ( x ) )
1− L

Khi n → +∞ , do 0 ≤ L < 1 , v ph@i c a (2.2) ti n d;n t3i 0, kéo theo v trái c a (2.2)
ti n d;n t3i 0. Hay {F n ( x )} là dãy Cauchy trong X.
Vì X là không gian

nên t*n t i u ∈ X sao cho:
lim F n ( x ) = u
n →∞

Ta ch/ng minh u là i#m b$t
Do F liên t c ta có:

ng c a F.

u = lim F n +1 ( x ) = lim F ( F n ( x ) ) = F ( u )
n →∞

V=y u là i#m b$t ng c a F.
Trong (2.2), c
nh n, cho m → +∞ ta

n →∞

:c

d ( F n ( x) , u ) ≤
NhYn xét 2.1. Trong
có i#m b$t ng.

Ln
d ( x, F ( x ) )
1− L

nh lý 1 òi hQi i u ki+n L < 1 . N u L = 1 thì F không nh$t thi t

Ví d :

21


Cho F :



nh bFi F ( x ) = x + 1 , khi ó:

xác

d ( F ( x ) , F ( y ) ) = ( x + 1) − ( y + 1) = x − y = d ( x, y )

Nh ng x ≠ x + 1 v3i m,i x ∈

và do ó F không có i#m b$t

ng nào.

Knh lý 2.2. Cho ( X , d ) là m t không gian metric compact v%i F : X → X th7a mãn

d ( F ( x ) , F ( y ) ) < d ( x, y ) v%i m'i x, y ∈ X và x ≠ y .
Khi ó F có m t i9m b t

ng duy nh t trong X.

ChTính duy nh$t là hi#n nhiên. Ta ch/ng minh tính t*n t i.
Xét ánh x G : X →
xác nh bFi G ( x ) = d ( x, F ( x ) ) , G liên t c trên X. Vì X là
t giá tr

compact nên G

nhQ nh$t trên X, hay t*n t i x0 ∈ X

sao cho

G ( x0 ) = min G ( x ) . Ta có x0 = F ( x0 ) vì n u x0 ≠ F ( x0 ) , theo gi@ thi t
x∈ X

(

)

d F ( F ( x0 ) ) , F ( x0 ) < d ( F ( x0 ) , x0 )
hay

G ( F ( x0 ) ) < G ( x0 )
ó là i u mâu thu4n.
Knh lý 2.3. Cho ( X , d ) là m t không gian metric 4 và cho

B ( x0 , r ) = { x ∈ X : d ( x, x0 ) < r} , v%i x0 ∈ X và r > 0
Gi s r5ng F : B ( x0 , r ) → X là ánh x co (có ngh@a là d ( F ( x ) , F ( y ) ) ≤ Ld ( x, y ) v%i
m'i x, y ∈ B ( x0 , r ) v%i 0 ≤ L < 1 ) v%i
d ( F ( x0 ) , x0 ) < (1 − L ) r.
Khi ó F có i9m b t

ng duy nh t trong B ( x0 , r ) .

ChT*n t i r0 sao cho 0 ≤ r0 < r và d ( F ( x0 ) , x0 ) ≤ (1 − L ) r0 . Ta sK ch/ng minh rMng
F : B ( x0 , r0 ) → B ( x0 , r0 ) . Th=t v=y, v3i x ∈ B ( x0 , r0 ) thì

d ( F ( x ) , x0 ) ≤ d ( F ( x ) , F ( x0 ) ) + d ( F ( x0 ) , x0 )
≤ Ld ( x, x0 ) + (1 − L ) r0 ≤ r0 .

22


Theo nh lý 2.1, F có m t i#m b$t
ch/ng minh tính duy nh$t c a i#m b$t

ng duy nh$t trong B ( x0 , r0 ) ⊂ B ( x0 , r0 ) . Vi+c
ng là d8 dàng.

Knh lý 2.4. Cho Br = B [ 0, r ] trong không gia Banach X. F : Br → X là m t ánh x co

( )

và F ∂ Br ⊂ Br . Khi ó F có m t i9m b t

ng duy nh t trong Br .

ChXét
G ( x) =

x + F ( x)
2

Tr 3c h t ta ch/ng minh G : Br → Br .
(t x* = r

x
v3i x ∈ Br và x ≠ 0 . D8 th$y x* = r nên x* ∈ ∂ Br .
x

V3i x ∈ Br , x ≠ 0 ,

F ( x ) − F ( x* ) ≤ L x − x* = L ( r − x
vì x − x* =

x
x

(x

)

− r ) . Và do ó
F ( x ) ≤ F ( x * ) + F ( x ) − F ( x* )
≤ r + L ( r − x ) ≤ 2r − x

V=y v3i x ∈ Br và x ≠ 0

G ( x) =

x + F ( x)
x + F ( x)

≤r
2
2

Do tính liên t c ta cJng có
G (0) ≤ r

V=y G : Br → Br , h n n?a G là ánh x co vì

G ( x) − G ( y)

x − y + L x − y 1+ L
=
x− y
2
2

23


Theo

ng duy nh$t u ∈ Br . Hi#n nhiên n u G ( u ) = u thì

nh lý 2.1, G có i#m b$t

F (u ) = u .

Knh lý 2.5. Cho ( X , d ) là m t không gian metric 4 và F : X → X là m t ánh x
(không nh t thi t là liên t c). Gi s r5ng các i0u ki6n sau ây là úng.

V%i m(i ε > 0 t n t i m t δ (ε ) > 0 sao cho

(2.3)

n u d ( x, F ( x ) ) < δ (ε ) thì F ( B ( x, ε ) ) ⊂ B ( x, ε )
v%i B ( x, ε ) = { y ∈ X : d ( x, y ) < ε }
N u v%i m t u nào ó thu c X ta có lim d ( F n ( u ) , F n +1 ( u ) ) = 0 thì dãy {F n ( u )} h i t
n →∞

n i 9m b t

ng c4a F.

ChGi@ s u thQa mãn i u ki+n c a
Cauchy.

nh lý.

(t un = F n ( u ) . Ta ch/ng minh {un } là dãy

l3n sao cho d ( un , un +1 ) < ε v3i m,i

Cho ε > 0 , ch,n δ (ε ) thQa mãn (2.3) . Ta ch,n N
n≥N .

Vì d ( u N , F ( uN ) ) < δ (ε ) nên tN (2.3) ta suy ra F ( B ( uN , ε ) ) ⊂ B ( u N , ε ) . Do

F ( u N ) = uN +1 ∈ B ( uN , ε ) . BMng quy n p ta có
F k ( u N ) = uN + k ∈ B ( u N , ε ) v3i m,i k ∈ {0,1, 2,

}

V= y

d ( uk , ul ) ≤ d ( uk , u N ) + d ( ul , uN ) < 2ε v3i m,i k , l ≥ N
Và do ó {un } là dãy Cauchy trong không gian X
Ta ch/ng minh rMng y là i#m b$t

nên t*n t i lim un = y ∈ X .
n →∞

ng c a F. Gi@ s ng :c l i

d ( y, F ( y ) ) = γ > 0
ch,n và c

nh un ∈ B y,

γ
3

v3i

d ( un , un +1 ) < δ

γ
3

TN (2.3) ta suy ra

F B un ,

γ
3

⊂ B un ,

24

γ
3

ó


và do ó F ( y ) ∈ B un ,

γ
3

γ
3

. i u ó là mâu thu4n vì

> d ( F ( y ) , un ) ≥ d ( F ( y ) , y ) − d ( un , y ) > γ −

γ
3

=


3

V=y d ( y, F ( y ) ) = 0 hay F ( y ) = y .
Knh lý 2.6. Cho ( X , d ) là không gian metric 4 và cho

d ( F ( x ) , F ( y ) ) ≤ φ ( d ( x, y ) ) v%i m'i x, y ∈ X
Trong ó φ :[0,∞) → [0,∞) là hàm không gi m nào ó (không nh t thi t là liên t c)
th7a mãn lim φ n ( t ) = 0 v%i m'i t > 0 . Khi ó F có m t i9m b t ng duy nh t u ∈ X
n →∞

v%i
lim F n ( x ) = u v%i m'i x ∈ X .
n →∞

ChGi@ s t ≤ φ ( t ) v3i t > 0 nào ó. Khi ó φ ( t ) ≤ φ (φ ( t ) ) (do φ là hàm không gi@m) vì
v=y t ≤ φ 2 ( t ) . BMng quy n p suy ra t ≤ φ n ( t ) v3i m,i n ≥ 1 .

i u này mâu thu4n v3i

gi@ thi t lim φ ( t ) = 0 . V=y φ ( t ) < t v3i m,i t > 0 .
n

n →∞

Ta có

(

) (

)

d ( F n ( x ) , F n +1 ( x ) ) = d F ( F n −1 ( x ) ) , F ( F n ( x ) ) ≤ φ d ( F n −1 ( x ) , F n ( x ) ) ≤


N u F ( x ) = x thì x là i#m b$t
Gi@ s

(

)

≤ φ n d ( x, F ( x ) ) , ∀ x ∈ X .
ng.

(

)

F ( x ) ≠ x , d ( x, F ( x ) ) > 0 . Theo gi@ thi t lim φ n d ( x, F ( x ) ) = 0 suy ra
n →∞

lim d ( F n ( x ) , F n +1 ( x ) ) = 0 .
n →∞

Cho ε > 0 và ch,n δ (ε ) = ε − φ ( ε ) > 0 . N u d ( x, F ( x ) ) < δ (ε ) thì v3i m,i z ∈ B ( x, ε )
ta có
d ( F ( z ) , x ) ≤ d ( F ( z ) , F ( x ) ) + d ( F ( x ) , x ) ≤ φ ( d ( z, x ) ) + d ( F ( x ) , x )
≤ φ ( d ( z , x ) ) + δ (ε ) ≤ φ ( ε ) + ( ε − φ ( ε ) ) = ε
Và do ó F ( z ) ∈ B ( x, ε ) . Theo

nh lý 2.5 suy ra F có i#m b$t

lim F n ( x ) = u v3i m,i x ∈ X .
n →∞

D8 dàng ch/ng minh

:c i#m b$t

ng là duy nh$t.

25

ng duy nh$t u v3i


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×