Tải bản đầy đủ

Chuyên đề 5 hình học không gian thầy lê bá trần phương (rất hay)1

Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Quan hệ vuông góc

CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC (Phần 01)

TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Chứng minh quan hệ vuông góc thuộc khóa
học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần
Chứng minh quan hệ vuông góc, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này

I. Kiến thức cơ bản thƣờng sử dụng
* ) Định lý 1:
a

b

a

( P), b


d

a, d

( P)

d

d

( P)

b

*) Định lý 2:
d ( P) d

a

P

a bất kỳ thuộc mặt phẳng (P).
d'

d

*) Định lý 3:

d / /d '
d

( P)

d'

( P)

Q


P

d

*) Định lý 4:

d

( P)

d

(Q)

( P)

P

(Q)

P

d

*) Định lý 5:
( P)
d

(Q)
( P)

a

d

Q

(Q)

d

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Quan hệ vuông góc

*) Định lý 6:
( P)

(Q)

( P)

( R)

(Q)

( R)

P

a

( R)

Q

R
II. Các bài tập mẫu
Ví dụ 1 (ĐHKB – 2012). Cho hình chóp S.ABC, H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Chứng minh
rằng: SC vuông góc với mặt phẳng (ABH).
Ví dụ 2: Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB đều, mặt phẳng (SAB) vuông
góc với mặt phẳng (ABCD). I, F lầ lượt là trung điểm của AB, AD. Chứng minh rằng FC vuông góc với
mặt phẳng (SID).
Ví dụ 3 (ĐHKA – 2007). Cho chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAD đều, mặt phẳng
(SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD. Chứng
minh rằng AM vuông góc với BP.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 2 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Quan hệ vuông góc

CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC (Phần 01)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Chứng minh quan hệ vuông góc thuộc khóa
học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến
thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Chứng minh quan hệ vuông góc. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần
học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dùng chung bài 01+02)

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Chứng minh rằng:
SB vuông góc SD.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi H, K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD.
a. CMR: SC vuông góc mặt phẳng (AHK).
b. Gọi I là giao ñiểm của SC với mặt phẳng (AHK). CMR: HK vuông góc AI.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD.
a. Chứng minh rằng: SO ⊥ ( ABCD )
b. I, K lần lượt là trung ñiểm của BA và BC. Chứng minh rằng IK vuông góc SD.
c. Gọi (P) là mặt phẳng song song với SO chứa IK. Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng (P).
Bài 4: Cho lặng trụ ñứng ABCD.A’B’C’D’, ñáy ABC có AB = AD = a và góc ∠BAD = 600 , AA ' =

a 3
.
2

M, N lần lượt là trung ñiểm A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng: AC ' ⊥ ( BDMN ).

Bài 5: Tứ diện SABC có SA ⊥ mp ( ABC ) . Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
a. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và ( SAC ) ⊥ ( BHK )
b. Chứng minh HK ⊥ ( SBC ) và ( SBC ) ⊥ ( BHK ) .

Bài 6: Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh ñều bằng a. Gọi M là trung ñiểm của AA’. Chứng
minh rằng BM vuông góc với B’C.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông tâm O cạnh a. SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi H, I, K lần lượt là
hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD và J là hình chiếu của B trên SC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là
trung ñiểm của AB, AD, BC, SC. CMR:
1. BC ⊥ ( SAB );
2. CD ⊥ ( SAD);
3. AH ⊥ ( SBC );
4. AK ⊥ ( SCD );
5. SC ⊥ ( AHK );
9. BC ⊥ SB;

6. OM ⊥ ( SAB );
10. CD ⊥ SD;

7. ON ⊥ ( SAD );

11. AH ⊥ SC ;

13.( SBC ) ⊥ ( SAB );

14.( SCD) ⊥ ( SAD );

17.( AHK ) ⊥ ( SAC );

18.(OQM ) ⊥ ( SAB);

8. BC ⊥ (OPQ );

12. AK ⊥ SC ;

15. ( AHK ) ⊥ ( SBC );

16.( AHK ) ⊥ ( SCD );

19.(OQN ) ⊥ ( SAD );

20.(OPQ) ⊥ ( SBC );

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Quan hệ vuông góc

CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC (Phần 01)
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Chứng minh quan hệ vuông góc thuộc khóa
học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến
thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Chứng minh quan hệ vuông góc. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần
học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dùng chung bài 01+02)

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Chứng minh rằng:
S
SB vuông góc SD.
Giải:
+ Gọi O là giao ñiểm của AC và BD. Vì ABCD là hình thoi
nên O là trung ñiểm của AC và BD
a
1
a
+ ∆ABC = ∆ASC ⇒ SO = BO = BD
2
⇒ ∠BSD = 900 ⇔ SB ⊥ SD
A

D

a
O

B
C

a

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi H, K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD.
a. CMR: SC vuông góc mặt phẳng (AHK).
b. Gọi I là giao ñiểm của SC với mặt phẳng (AHK). CMR: HK vuông góc AI.
Giải:
S
a. Ta có:
AH ⊥ SB 
 ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ SC (1)
AH ⊥ BC 

I

AK ⊥ SD 
 ⇒ AK ⊥ ( SDC ) ⇒ AK ⊥ SC (2)
AK ⊥ DC 

K

Từ (1) và (2) ta suy ra SC ⊥ ( AHK )
b. Ta có:
∆ v SAB = ∆ v SAD ⇒ SH = SK
SH SK
=
⇒ HK / / BD ( ðịnh lý Ta lét ñảo)
SB SD
BD ⊥ AC 
 ⇒ BD ⊥ ( SAC )
BD ⊥ SA 

H
A

D



O

B
C

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Quan hệ vuông góc


 ⇒ HK ⊥ ( SAC ) ⇒ HK ⊥ AI
BD ⊥ ( SAC ) 
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD.
a. Chứng minh rằng: SO ⊥ ( ABCD )
HK / / BD

b. I, K lần lượt là trung ñiểm của BA và BC. Chứng minh rằng IK vuông góc SD.
c. Gọi (P) là mặt phẳng song song với SO chứa IK. Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng (P).
Giải:
S
a. Ta có:
SO ⊥ AC 
 ⇒ SO ⊥ ( ABCD)
SO ⊥ BD 
b.
IK ⊥ BD ( do AC ⊥ BD) 
 ⇒ IK ⊥ ( SBD ) ⇒ IK ⊥ SD
IK ⊥ SO

c. + Gọi M là giao ñiểm của SB với mặt phẳng (P),
N là giao ñiểm của DB với mặt phẳng (P).

SO / /( P), SO ⊂ ( SBD ) 
 ⇒ SO / / MN
( SBD ) ∩ ( P) = MN

SO ⊥ BD 
+
 ⇒ MN ⊥ BD
MN / / SO 
BD ⊥ IK 
+
 ⇒ BD ⊥ ( P)
BD ⊥ MN 

M

D

C

+

K
O
N
A

I

B

Bài 4: Cho lặng trụ ñứng ABCD.A’B’C’D’, ñáy ABC có AB = AD = a và góc ∠BAD = 600 , AA ' =

a 3
.
2

M, N lần lượt là trung ñiểm A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng: AC ' ⊥ ( BDMN ).

Giải:
+ Gọi S = BN ∩ DM ⇒ M là trung ñiểm SD, N là trung ñiểm SB, A’ là trung ñiểm SA.
+ Gọi O = AC ∩ BD
a 3
⇒ AC = 2 AO = a 3 = SA, CC ' = AO
2
+ Hai ∆ vuông SOA và ACC’ bằng nhau ⇒ ∠ASO = ∠CAC ' .

+ ∆ BAD ñều ⇒ AO =

Mà ∠ASO + ∠SOA = 900 ⇒ ∠CAC '+ ∠SOA = 900 ⇒ AC ' ⊥ SO
+

AC ' ⊥ BD 
 ⇒ AC ' ⊥ ( BDMN )
AC ' ⊥ SO 

Bài 5: Tứ diện SABC có SA ⊥ mp ( ABC ) . Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
a. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và ( SAC ) ⊥ ( BHK )
b. Chứng minh HK ⊥ ( SBC ) và ( SBC ) ⊥ ( BHK ) .

Giải:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Quan hệ vuông góc

S

K

A

C
B
H

a. Vì H là trực tâm tam giác ∆ABC ⇒ BH ⊥ AC , theo giả thiết

SA ⊥ mp ( ABC ) ⇒ BH ⊥ SA . Nên BH ⊥ mp ( SAC ) ⇒ SC ⊥ BH
Do K là trực tâm ∆SBC ⇒ BK ⊥ SC
Từ ñó suy ra SC ⊥ mp ( BHK ) ⇒ mp ( BHK ) ⊥ mp ( SAC ) (ñpcm)
b. Tương tự như trên ta cũng chứng minh ñược: SB ⊥ mp ( CHK ) ⇒ SB ⊥ HK
Mà SC ⊥ mp ( BHK ) ⇒ SC ⊥ HK .
Do ñó: HK ⊥ mp ( SBC ) ⇒ mp ( SBC ) ⊥ mp ( BHK )

Bài 6: Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh ñều bằng a. Gọi M là trung ñiểm của AA’. Chứng
minh rằng BM vuông góc với B’C.
A
C
Giải:
Gọi I là tâm hình vuông BCC’B’ nên I là trung ñiểm của B’C.
M là trung ñiểm AA’ nên MC=MB’ suy ra tam giác MB’C cân tại M
B
⇒ B ' C ⊥ MI ; B ' C ⊥ BC ' ⇒ B ' C ⊥ MB.
M

I

C’
A’
B’

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông tâm O cạnh a. SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi H, I, K lần lượt là
hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD và J là hình chiếu của B trên SC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là
trung ñiểm của AB, AD, BC, SC. CMR:
1. BC ⊥ ( SAB );
2. CD ⊥ ( SAD);
3. AH ⊥ ( SBC );
4. AK ⊥ ( SCD );
5. SC ⊥ ( AHK );
9. BC ⊥ SB;

6. OM ⊥ ( SAB );
10. CD ⊥ SD;

13.( SBC ) ⊥ ( SAB );

7. ON ⊥ ( SAD );

11. AH ⊥ SC ;

14.( SCD) ⊥ ( SAD );

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

8. BC ⊥ (OPQ );

12. AK ⊥ SC ;

15. ( AHK ) ⊥ ( SBC );

16.( AHK ) ⊥ ( SCD );

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

17.( AHK ) ⊥ ( SAC );

18.(OQM ) ⊥ ( SAB );

Quan hệ vuông góc

19.(OQN ) ⊥ ( SAD );

20.(OPQ) ⊥ ( SBC );

Giải:
1. BC ⊥ AB (giả thiết ABCD là hình vuông)
BC ⊥ SA (do giả thiết SA ⊥ (ABCD))
⇒ BC ⊥ (SAB).
2. CD ⊥ AD (giả thiết ABCD là hình vuông),
CD ⊥ SA (do giả thiết SA ⊥ (ABCD))
⇒ CD ⊥ (SAD).
3. AH ⊥ SB (giả thiết),
AH ⊥ BC (do theo câu 1 ta ñã có BC ⊥ (SAB)
mà AH ⊂ (SBC) ) ⇒ AH ⊥ (SBC)
4. AK ⊥ SD (giả thiết)
AK ⊥ CD (do theo câu 2 ta ñã có CD ⊥ (SAD)
mà AK ⊂ (SAD) ) ⇒ AK ⊥ (SCD)
5. AH ⊥ (SBC) (do theo câu 3) ⇒ AH ⊥ SC
AK ⊥ (SCD) (do theo câu 4) ⇒ AK ⊥ SC
Vậy SC ⊥ (AHK)
6. OM là ñường trung bình của tam giác ABC nên OM//BC, mà BC ⊥ (SAB) (do theo câu 1) nên
OM ⊥ (SAB)
7. ON là ñường trung bình của tam giác ABD nên ON//AB//CD mà CD ⊥ (SAD) (do theo câu 2)
nên ON ⊥ (SAD).
8. OP là ñường trung bình của tam giác BDC nên OP//CD mà BC ⊥ CD (giả thiết) nên BC ⊥ OP
(*).
OQ là ñường trung bình của tam giác SAC nên OQ//SA mà SA ⊥ (ABCD) nên OQ ⊥ (ABCD),
⇒ BC ⊥ OQ (**).
Vậy từ (*) và (**) ta có BC ⊥ (OPQ)
9. Theo câu 1: BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB.
10. Theo câu 2: CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD.
11. Theo câu 3: AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ SC.
12. Theo câu 4: AK ⊥ (SCD) ⇒ AK ⊥ SC.
13. Theo câu 1: BC ⊥ (SAB) mà BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (SAB).
14. Theo câu 2: CD ⊥ (SAD) mà CD ⊂ (SCD) ⇒ (SCD) ⊥ (SAD).
15. Theo câu 3: AH ⊥ (SBC) mà AH ⊂ (AHK) ⇒ (AHK) ⊥ (SBC).

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Quan hệ vuông góc

16. Theo câu 4: AK ⊥ (SCD) mà AK ⊂ (AHK) ⇒ (AHK) ⊥ (SCD).
17. Theo câu 5: SC ⊥ (AHK) mà SC ⊂ (SAC) ⇒ (SAC) ⊥ (AHK).
18. Theo câu 6: OM ⊥ (SAB) mà OM ⊂ (OMQ) ⇒ (OMQ) ⊥ (SAB).
19. Theo câu 7: ON ⊥ (SAD) mà ON ⊂ (ONQ) ⇒ (ONQ) ⊥ (SAD).
20. Theo câu 8: BC ⊥ (OPQ) mà BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (OPQ).

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 5 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Quan hệ vuông góc

CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC (Phần 02)

TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Chứng minh quan hệ vuông góc thuộc khóa
học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. ðể có thể nắm vững kiến thức phần
Chứng minh quan hệ vuông góc, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này

Ví dụ minh họa (tiếp)
Ví dụ 4 (ðHKB – 2007). Cho chóp tứ giác ñều S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông, E ñối xứng với D qua
trung ñiểm của SA, M và N lần lượt là trung ñiểm của AE, BC.
Chứng minh rằng MN vuông góc với BD.
Ví dụ 5 (ðHKD – 2007) Cho chóp SABCD, ñáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, BA = BC = a,
AD = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng ñáy. Chứng minh rằng tam giác SCD vuông.
Ví dụ 6 (ðHKB – 2006) Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 2 , SA
vuông góc với mặt phẳng ñáy. Gọi M là trung ñiểm của AD, I là giao ñiểm của AC và BM. Chứng minh
rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB).
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông, gọi M, I, J lần lượt là trung ñiểm của SC,
AB, CD. Tam giác SIJ ñều, mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Chứng minh mặt phẳng (ABM) vuông góc
với mặt phẳng (SCD).

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Quan hệ vuông góc

CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC (Phần 02)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Chứng minh quan hệ vuông góc thuộc khóa
học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến
thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Chứng minh quan hệ vuông góc. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần
học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dùng chung bài 01+02)

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Chứng minh rằng:
SB vuông góc SD.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi H, K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD.
a. CMR: SC vuông góc mặt phẳng (AHK).
b. Gọi I là giao ñiểm của SC với mặt phẳng (AHK). CMR: HK vuông góc AI.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD.
a. Chứng minh rằng: SO ⊥ ( ABCD )
b. I, K lần lượt là trung ñiểm của BA và BC. Chứng minh rằng IK vuông góc SD.
c. Gọi (P) là mặt phẳng song song với SO chứa IK. Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng (P).
Bài 4: Cho lặng trụ ñứng ABCD.A’B’C’D’, ñáy ABC có AB = AD = a và góc ∠BAD = 600 , AA ' =

a 3
.
2

M, N lần lượt là trung ñiểm A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng: AC ' ⊥ ( BDMN ).

Bài 5: Tứ diện SABC có SA ⊥ mp ( ABC ) . Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
a. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và ( SAC ) ⊥ ( BHK )
b. Chứng minh HK ⊥ ( SBC ) và ( SBC ) ⊥ ( BHK ) .

Bài 6: Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh ñều bằng a. Gọi M là trung ñiểm của AA’. Chứng
minh rằng BM vuông góc với B’C.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông tâm O cạnh a. SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi H, I, K lần lượt là
hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD và J là hình chiếu của B trên SC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là
trung ñiểm của AB, AD, BC, SC. CMR:
1. BC ⊥ ( SAB );
2. CD ⊥ ( SAD);
3. AH ⊥ ( SBC );
4. AK ⊥ ( SCD );
5. SC ⊥ ( AHK );
9. BC ⊥ SB;

6. OM ⊥ ( SAB );
10. CD ⊥ SD;

7. ON ⊥ ( SAD );

11. AH ⊥ SC ;

13.( SBC ) ⊥ ( SAB );

14.( SCD) ⊥ ( SAD );

17.( AHK ) ⊥ ( SAC );

18.(OQM ) ⊥ ( SAB);

8. BC ⊥ (OPQ );

12. AK ⊥ SC ;

15. ( AHK ) ⊥ ( SBC );

16.( AHK ) ⊥ ( SCD );

19.(OQN ) ⊥ ( SAD );

20.(OPQ) ⊥ ( SBC );

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Quan hệ vuông góc

CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC (Phần 02)
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Chứng minh quan hệ vuông góc thuộc khóa
học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến
thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Chứng minh quan hệ vuông góc. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần
học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dùng chung bài 01+02)

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Chứng minh rằng:
S
SB vuông góc SD.
Giải:
+ Gọi O là giao ñiểm của AC và BD. Vì ABCD là hình thoi
nên O là trung ñiểm của AC và BD
a
1
a
+ ∆ABC = ∆ASC ⇒ SO = BO = BD
2
⇒ ∠BSD = 900 ⇔ SB ⊥ SD
A

D

a
O

B
C

a

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi H, K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD.
a. CMR: SC vuông góc mặt phẳng (AHK).
b. Gọi I là giao ñiểm của SC với mặt phẳng (AHK). CMR: HK vuông góc AI.
Giải:
S
a. Ta có:
AH ⊥ SB 
 ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ SC (1)
AH ⊥ BC 

I

AK ⊥ SD 
 ⇒ AK ⊥ ( SDC ) ⇒ AK ⊥ SC (2)
AK ⊥ DC 

K

Từ (1) và (2) ta suy ra SC ⊥ ( AHK )
b. Ta có:
∆ v SAB = ∆ v SAD ⇒ SH = SK
SH SK
=
⇒ HK / / BD ( ðịnh lý Ta lét ñảo)
SB SD
BD ⊥ AC 
 ⇒ BD ⊥ ( SAC )
BD ⊥ SA 

H
A

D



O

B
C

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Quan hệ vuông góc


 ⇒ HK ⊥ ( SAC ) ⇒ HK ⊥ AI
BD ⊥ ( SAC ) 
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD.
a. Chứng minh rằng: SO ⊥ ( ABCD )
HK / / BD

b. I, K lần lượt là trung ñiểm của BA và BC. Chứng minh rằng IK vuông góc SD.
c. Gọi (P) là mặt phẳng song song với SO chứa IK. Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng (P).
Giải:
S
a. Ta có:
SO ⊥ AC 
 ⇒ SO ⊥ ( ABCD)
SO ⊥ BD 
b.
IK ⊥ BD ( do AC ⊥ BD) 
 ⇒ IK ⊥ ( SBD ) ⇒ IK ⊥ SD
IK ⊥ SO

c. + Gọi M là giao ñiểm của SB với mặt phẳng (P),
N là giao ñiểm của DB với mặt phẳng (P).

SO / /( P), SO ⊂ ( SBD ) 
 ⇒ SO / / MN
( SBD ) ∩ ( P) = MN

SO ⊥ BD 
+
 ⇒ MN ⊥ BD
MN / / SO 
BD ⊥ IK 
+
 ⇒ BD ⊥ ( P)
BD ⊥ MN 

M

D

C

+

K
O
N
A

I

B

Bài 4: Cho lặng trụ ñứng ABCD.A’B’C’D’, ñáy ABC có AB = AD = a và góc ∠BAD = 600 , AA ' =

a 3
.
2

M, N lần lượt là trung ñiểm A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng: AC ' ⊥ ( BDMN ).

Giải:
+ Gọi S = BN ∩ DM ⇒ M là trung ñiểm SD, N là trung ñiểm SB, A’ là trung ñiểm SA.
+ Gọi O = AC ∩ BD
a 3
⇒ AC = 2 AO = a 3 = SA, CC ' = AO
2
+ Hai ∆ vuông SOA và ACC’ bằng nhau ⇒ ∠ASO = ∠CAC ' .

+ ∆ BAD ñều ⇒ AO =

Mà ∠ASO + ∠SOA = 900 ⇒ ∠CAC '+ ∠SOA = 900 ⇒ AC ' ⊥ SO
+

AC ' ⊥ BD 
 ⇒ AC ' ⊥ ( BDMN )
AC ' ⊥ SO 

Bài 5: Tứ diện SABC có SA ⊥ mp ( ABC ) . Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
a. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và ( SAC ) ⊥ ( BHK )
b. Chứng minh HK ⊥ ( SBC ) và ( SBC ) ⊥ ( BHK ) .

Giải:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Quan hệ vuông góc

S

K

A

C
B
H

a. Vì H là trực tâm tam giác ∆ABC ⇒ BH ⊥ AC , theo giả thiết

SA ⊥ mp ( ABC ) ⇒ BH ⊥ SA . Nên BH ⊥ mp ( SAC ) ⇒ SC ⊥ BH
Do K là trực tâm ∆SBC ⇒ BK ⊥ SC
Từ ñó suy ra SC ⊥ mp ( BHK ) ⇒ mp ( BHK ) ⊥ mp ( SAC ) (ñpcm)
b. Tương tự như trên ta cũng chứng minh ñược: SB ⊥ mp ( CHK ) ⇒ SB ⊥ HK
Mà SC ⊥ mp ( BHK ) ⇒ SC ⊥ HK .
Do ñó: HK ⊥ mp ( SBC ) ⇒ mp ( SBC ) ⊥ mp ( BHK )

Bài 6: Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh ñều bằng a. Gọi M là trung ñiểm của AA’. Chứng
minh rằng BM vuông góc với B’C.
A
C
Giải:
Gọi I là tâm hình vuông BCC’B’ nên I là trung ñiểm của B’C.
M là trung ñiểm AA’ nên MC=MB’ suy ra tam giác MB’C cân tại M
B
⇒ B ' C ⊥ MI ; B ' C ⊥ BC ' ⇒ B ' C ⊥ MB.
M

I

C’
A’
B’

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông tâm O cạnh a. SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi H, I, K lần lượt là
hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD và J là hình chiếu của B trên SC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là
trung ñiểm của AB, AD, BC, SC. CMR:
1. BC ⊥ ( SAB );
2. CD ⊥ ( SAD);
3. AH ⊥ ( SBC );
4. AK ⊥ ( SCD );
5. SC ⊥ ( AHK );
9. BC ⊥ SB;

6. OM ⊥ ( SAB );
10. CD ⊥ SD;

13.( SBC ) ⊥ ( SAB );

7. ON ⊥ ( SAD );

11. AH ⊥ SC ;

14.( SCD) ⊥ ( SAD );

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

8. BC ⊥ (OPQ );

12. AK ⊥ SC ;

15. ( AHK ) ⊥ ( SBC );

16.( AHK ) ⊥ ( SCD );

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

17.( AHK ) ⊥ ( SAC );

18.(OQM ) ⊥ ( SAB );

Quan hệ vuông góc

19.(OQN ) ⊥ ( SAD );

20.(OPQ) ⊥ ( SBC );

Giải:
1. BC ⊥ AB (giả thiết ABCD là hình vuông)
BC ⊥ SA (do giả thiết SA ⊥ (ABCD))
⇒ BC ⊥ (SAB).
2. CD ⊥ AD (giả thiết ABCD là hình vuông),
CD ⊥ SA (do giả thiết SA ⊥ (ABCD))
⇒ CD ⊥ (SAD).
3. AH ⊥ SB (giả thiết),
AH ⊥ BC (do theo câu 1 ta ñã có BC ⊥ (SAB)
mà AH ⊂ (SBC) ) ⇒ AH ⊥ (SBC)
4. AK ⊥ SD (giả thiết)
AK ⊥ CD (do theo câu 2 ta ñã có CD ⊥ (SAD)
mà AK ⊂ (SAD) ) ⇒ AK ⊥ (SCD)
5. AH ⊥ (SBC) (do theo câu 3) ⇒ AH ⊥ SC
AK ⊥ (SCD) (do theo câu 4) ⇒ AK ⊥ SC
Vậy SC ⊥ (AHK)
6. OM là ñường trung bình của tam giác ABC nên OM//BC, mà BC ⊥ (SAB) (do theo câu 1) nên
OM ⊥ (SAB)
7. ON là ñường trung bình của tam giác ABD nên ON//AB//CD mà CD ⊥ (SAD) (do theo câu 2)
nên ON ⊥ (SAD).
8. OP là ñường trung bình của tam giác BDC nên OP//CD mà BC ⊥ CD (giả thiết) nên BC ⊥ OP
(*).
OQ là ñường trung bình của tam giác SAC nên OQ//SA mà SA ⊥ (ABCD) nên OQ ⊥ (ABCD),
⇒ BC ⊥ OQ (**).
Vậy từ (*) và (**) ta có BC ⊥ (OPQ)
9. Theo câu 1: BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB.
10. Theo câu 2: CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD.
11. Theo câu 3: AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ SC.
12. Theo câu 4: AK ⊥ (SCD) ⇒ AK ⊥ SC.
13. Theo câu 1: BC ⊥ (SAB) mà BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (SAB).
14. Theo câu 2: CD ⊥ (SAD) mà CD ⊂ (SCD) ⇒ (SCD) ⊥ (SAD).
15. Theo câu 3: AH ⊥ (SBC) mà AH ⊂ (AHK) ⇒ (AHK) ⊥ (SBC).

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Quan hệ vuông góc

16. Theo câu 4: AK ⊥ (SCD) mà AK ⊂ (AHK) ⇒ (AHK) ⊥ (SCD).
17. Theo câu 5: SC ⊥ (AHK) mà SC ⊂ (SAC) ⇒ (SAC) ⊥ (AHK).
18. Theo câu 6: OM ⊥ (SAB) mà OM ⊂ (OMQ) ⇒ (OMQ) ⊥ (SAB).
19. Theo câu 7: ON ⊥ (SAD) mà ON ⊂ (ONQ) ⇒ (ONQ) ⊥ (SAD).
20. Theo câu 8: BC ⊥ (OPQ) mà BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (OPQ).

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 5 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Các vấn ñề về góc

CÁC VẤN ðỀ VỀ GÓC (Phần 01)

TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Các vấn ñề về góc thuộc khóa học Toán 12
– Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. ðể có thể nắm vững kiến thức phần Các vấn ñề về
góc, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

I. Góc giữa hai ñường thẳng
a) ðịnh nghĩa
Cho 2 ñường thẳng a, b cắt nhau. Khi ñó nó tạo ra 4 góc. Góc có số ño bé nhất trong 4 góc ñó ñược gọi là
góc giữa 2 ñường thẳng a và b, ký hiệu ∠a, b
a
Chú ý: + ) a ≡ b ⇒ ( ∠( a, b) = 00 )

+ ) a ⊥ b ⇒ ( ∠(a, b) = 900 )

b

Gọi α = ∠(a, b) ⇒ 00 ≤ α ≤ 900 và cosα > 0 .
b) Cách xác ñịnh góc giữa 2 ñường thẳng chéo nhau a và b
+ Qui tắc 1:

a'
a

Từ ñiểm O tùy ý kẻ a’//a và b’//b ⇒ ∠( a, b) = ∠( a ', b ')
b'

b

+ Qui tắc 2:
a

Từ ñiểm O thuộc ñường thẳng b (a) kẻ a’//a (b’//b)
⇒ ∠( a, b) = ∠( a ', b) = ∠( a, b ')

O
a'

b'

O
b

Chú ý:
+ Hệ thức lượng trong tam giác vuông
D
K
D
K
sin α = ; cosα = ; tan α = ; cot α =
H
H
K
D
+ ðịnh lý cosin
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD, AB = CD = 2a. Gọi M và N lần lượt là trung ñiểm của BC, AD, cho
MN = a 3 . Tính góc giữa hai ñường thẳng AB và CD.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Các vấn ñề về góc

Ví dụ 2: Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = a 3 , SA ⊥ BC . Gọi I và J lần lượt là
trung ñiểm của SA và SC. Tính góc giữa hai ñường thẳng
a) SD và BC
b) IJ và BD.
Ví dụ 3 (ðHKA – 2008) Cho lăng trụ ABC.A”B’C’ có AA’ = 2a, ñáy ABC là tam giác vuông tại A, AB =
a, AC = a 3 . Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung ñiểm của BC. Tính côsin góc
giữa 2 ñường thẳng AA’ và B’C’.

Ví dụ 4 (ðHKB – 2008) Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 .
Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB, BC. Tính
côsin góc giữa 2 ñường thẳng SM và DN.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 2 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Các vấn ñề về góc

CÁC VẤN ðỀ VỀ GÓC (Phần 01)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Các vấn ñề về góc thuộc khóa học Toán 12 –
Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo
viên truyền ñạt trong bài giảng Các vấn ñề về góc. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó
làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1: Cho chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 vuông
góc với ñáy. Gọi D là trung ñiểm cạnh AB. Tính góc giữa AC và SD
Bài 2: Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung ñiểm BC, AD. Biết AB = CD = 2a, MN = a 3 .
Tính góc giữa 2 ñường thẳng AB và CD
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thang vuông tại A và D, AD=DC=a, AB=2a. SA vuông góc
với AB và AD, SA=

2 3a
. Tính góc giữa 2 ñường thẳng:
3

a, DC và SB
b, SD và BC
Bài 4: Cho hình lăng trụ tam giác ñều ABC. A ' B ' C ' có AB = 1, CC ' = m (m > 0). Tìm m biết rằng góc
giữa hai ñường thẳng AB ' và BC ' bằng 600 .

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Các vấn ñề về góc

CÁC VẤN ðỀ VỀ GÓC (Phần 01)
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Các vấn ñề về góc thuộc khóa học Toán 12 –
Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo
viên truyền ñạt trong bài giảng Các vấn ñề về góc. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó
làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1: Cho chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 vuông
góc với ñáy. Gọi D là trung ñiểm cạnh AB. Tính góc giữa AC và SDS
Giải:
Ta có : AB = 2 5 ,
Gọi M là trung ñiểm của BC ,ta có : DM = 1
SD =

SA2 + AD 2 = 30 ,

SC =

SA2 + AC 2 = 29

SM =

SC 2 + CM 2 = 33

A

D

B

N

M
C

SD 2 + MD 2 − SM 2 30 + 1 − 33
1
(*)
Ta có : cos ∠SDM =
=
=−
2SD.MD
2 30
30
K
Góc ϕ giữa hai ñường thẳng AC và SD là góc giữa hai ñường thẳng DM và SD hay ϕ bù với góc
∠ SDM . Do ñó : cos ϕ =
Vậy ϕ = arcos

1
30

1
30

Bài 2: Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung ñiểm BC, AD. Biết AB = CD = 2a, MN = a 3 .
Tính góc giữa 2 ñường thẳng AB và CD
Giải:
Gọi P là trung ñiểm AC. Khi ñó MP // AB, NP // CD và MP = NP = a
⇒ ∠( AB, CD) = ∠( MP, NP )
Trong tam giác MPN ta có:

MP 2 + NP 2 − MN 2 2a 2 − 3a 2
1
=
=−
2MP.NP
2a.a
2
0
⇒ ∠MPN = 120
cos∠MPN=

Vậy ∠( MP, NP) = 600 ⇒ ∠( AB, CD ) = 600

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thang vuông tại A và D, AD=DC=a, AB=2a. SA vuông góc
với AB và AD, SA=

2 3a
. Tính góc giữa 2 ñường thẳng:
3

a, DC và SB
b, SD và BC
Giải:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Các vấn ñề về góc

a. Do DC / / AB ⇒ ∠( DC , SB ) = ∠( AB, SB) = α
2a 3
SA
3
Tam giác SAB vuông tại A nên α là góc nhọn, khi ñó tan α =
= 3 =
⇒ α = 300
AB
2a
3
Vậy ∠( DC , SB) = 300
b. Gọi I là trung ñiểm AB, khi ñó AI=a. Tứ giác ADCI là hình bình hành, lại có AI=AD=a nên là hình
thoi, mà góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a ⇒ DI = a 2
Tứ giác BIDC là hình bình hành nên BC // DI
Khi ñó ∠( SD, BC ) = ∠( SD, DI ) = β
Tam giác SAI vuông tại A nên SI 2 = SA2 + AI 2 =

7a 2
3

Tam giác SAD vuông tại A nên SD 2 = SA2 + AD 2 =

7a 2
3

Áp dụng ñịnh lý hàm số cosin trong tam giác SDI:

2a 2
3
=
>0
a 21
42
a.
.a 2
3
3
Suy ra ∠SDI là góc nhọn và ∠SDI =arccos
42
Bài 4: Cho hình lăng trụ tam giác ñều ABC. A ' B ' C ' có AB = 1, CC ' = m (m > 0). Tìm m biết rằng góc
cos∠SDI =

SD 2 + DI 2 − SI 2
=
2 SD.DI

giữa hai ñường thẳng AB ' và BC ' bằng 600 .
Giải:
- Kẻ BD / / AB '

( D ∈ A ' B ')

⇒ ( AB ', BC ') = ( BD, BC ') = 600

⇒ ∠DBC ' = 600 hoặc ∠DBC ' = 1200.
- Nếu ∠DBC ' = 600
Vì lăng trụ ñều nên BB ' ⊥ ( A ' B ' C ').
Áp dụng ñịnh lý Pitago và ñịnh lý cosin ta có

BD = BC ' = m2 + 1 và DC ' = 3.
Kết hợp ∠DBC ' = 600 ta suy ra ∆BDC ' ñều.
Do ñó

m 2 + 1 = 3 ⇔ m = 2.

- Nếu ∠DBC ' = 1200
Áp dụng ñịnh lý cosin cho ∆BDC ' suy ra m = 0 (loại).
Vậy m = 2.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 2 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Các vấn ñề về góc

CÁC VẤN ðỀ VỀ GÓC (Phần 02)

TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Các vấn ñề về góc thuộc khóa học Toán 12
– Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. ðể có thể nắm vững kiến thức phần Các vấn ñề về
góc, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

II. Góc giữa hai mặt phẳng
a) ðịnh nghĩa: Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆ .
Từ ñiểm I thuộc ∆ ,
P
trong mặt phẳng (P) dựng a ⊥ ∆ ,
trong mặt phẳng (Q) dựng b ⊥ ∆ .
a
Khi ñó góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q), kí hiệu

( ∠( P), (Q) ) chính là góc giữa hai ñường thẳng a và b,
( ∠( P), (Q) ) = ∠ ( a, b ) .

Q
I

b

b) Bài tập mẫu
Bài 1: Cho chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABCD)
a) Xác ñịnh góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (SBC).
b) Cho tam giác ABC vuông tại B. Xác ñịnh góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).
Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính số ño góc giữa 2 mặt phẳng (BA’C) và
(DA’C).
Bài 3: Cho chóp tứ giác ñều SABCD ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a. Tính côsin góc giữa 2 mặt
S
phẳng (SAB) và (SAD).
Lưu ý: Cho chóp SABC, có SA vuông góc với (ABC), ∠( SBC ), ( ABC ) = α
Khi ñó: S ∆ABC = S ∆SBC .cosα

ðịnh lý: Gọi S là diện tích của ña giác H nằm trong mặt phẳng (H).
S’ là diện tích của hình chiếu H’ của H trên mặt phẳng (P).
α là góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q).
Khi ñó: S ' = S .cosα

A

C

I
B

Bài 4: (DBKA- 2007) Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ ñáy ABC là tam giác cân, AB = AC = a,
∠BAC = 1200 , BB’ = a, I là trung ñiểm của CC’. Chứng minh rằng: Tam giác AB’I vuông ở A. Tính
côsin góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (AB’I).

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Các vấn ñề về góc

III. Góc giữa ñường thẳng và mặt phẳng
a) Cách xác ñịnh góc giữa ñường thẳng và mặt phẳng
Giả sử d ∩ ( P ) = I . Từ M thuộc d kẻ MH ⊥ ( P), H ∈ ( P)

M

⇒ ∠ ( d , ( P) ) = ∠MIH
H

I

b) Bài tập mẫu
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD),

SA = a 6 . Tính sin của góc giữa:
a) SC và mặt phẳng (SAB).
b) AC và mặt phẳng (SBC)
Bài 2: Cho chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, ( SAB ) ⊥ ( ABCD) , SA = SB, H là trung ñiểm
của AB, SH = HC. Tính góc giữa SC và (ABCD).

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 2 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Các vấn ñề về góc

CÁC VẤN ðỀ VỀ GÓC (Phần 02)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Các vấn ñề về góc thuộc khóa học Toán 12 –
Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo
viên truyền ñạt trong bài giảng Các vấn ñề về góc. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó
làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 , SD= a 7 và SA
⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của SA và SB.
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
Bài 2: Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC ñôi một vuông góc và SA = SB = SC. Gọi I, J lần lượt là trung
ñiểm AB, BC. Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAJ) và (SCI)
Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a, dựng SA = a 3 và vuông góc với (ABCD). Tính góc giữa các mp
sau:
a. (SAB) và (ABC)
b. (SBD) và (ABD)
c. (SAB) và (SCD)
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Cạnh SA = a và
SA ⊥ (ABCD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SD.
a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD).
b) Chứng minh (AEF) ⊥ (SAC).
c) Tính tan ϕ với ϕ là góc giữa cạnh SC với (ABCD).
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), ñáy ABCD là hình vuông cạnh a ; SA = a 6 . Gọi
AH, AK lần lượt là ñường cao của các tam giác SAB và SAD.
1) Chứng minh : ∆ SAD ; ∆ SDC là những tam giác vuông.
2) Chứng minh: AK ⊥ (SDC) ; HK ⊥ (SAC)
3) Tính góc giữa ñường thẳng SD và mặt phẳng (SAC).
Bài 6: Cho hình chóp ñều S.ABCD, ñáy có cạnh bằng a và có tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung ñiểm
SA;BC.Biết góc giữa MN và (ABCD) bằng 600.Tính MN, SO, góc giữa MN và mặt phẳng (SAO) .
Bài 7: Cho hình vuông ABCD và tam giác ñều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc. Gọi I là
trung ñiểm AB. CMR: SI ⊥ (ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD)

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Các vấn ñề về góc

CÁC VẤN ðỀ VỀ GÓC (Phần 02)
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Các vấn ñề về góc thuộc khóa học Toán 12 –
Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo
viên truyền ñạt trong bài giảng Các vấn ñề về góc. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó
làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 , SD= a 7 và SA
⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của SA và SB.
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
Giải:
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
 SA ⊥ AB
SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ 
⇒ các tam giác SAB, SAD vuông tại A
 SA ⊥ AD
Tương tự :
 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông tại B

 BC ⊥ SA
CD ⊥ AD
⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆SDC vuông tại D

CD ⊥ SA
b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
( SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD
AD ⊂ ( ABCD ), AD ⊥ CD , SD ⊂ ( SCD ), SD ⊥ CD
Suy ra:

( ( SCD), ( ABCD) ) = ∠SDA;

cos ∠SDA =

AD a 3
21
=
=
SD a 7
7

21
7
Bài 2: Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC ñôi một vuông góc và SA = SB = SC. Gọi I, J lần lượt là trung
ñiểm AB, BC. Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAJ) và (SCI)
Giải:
Do SA = SB = SC ⇒ AB = BC = CA ⇒ tam giác ABC ñều
Trong tam giác ABC, gọi H là giao của SJ và CI.
Khi ñó H vừa là trọng tâm vừa là trọng tâm của tam giác ABC
Ta có ( SAJ) ∩ ( SCI ) = SH ,
⇒ ( ( SCD), ( ABCD) ) = ∠SDA = ar cos

do ñó, ñể xác ñịnh góc giữa 2 mp (SAJ) và (SCI),
trước tiên ta xác ñịnh mp vuông góc với SH
Ta có : AH ⊥ BC (1) do tam giác ABC ñều
Lại có SA, SB, SC ñôi một vuông góc nên SA ⊥ (SBC) ⇒ SA ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) ta ñược BC ⊥ (SAH) suy ra BC ⊥ SH (*)
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Các vấn ñề về góc

Tương tự ta cũng có
 AB ⊥ CH
 AB ⊥ CH
⇒
⇒ AB ⊥ ( SCH )

 SC ⊥ ( SAB)  AB ⊥ SC

Hay AB ⊥ SH (**)
Từ (*) và (**) suy ra SH ⊥ (ABC)
( ABC ) ∩ ( SAJ) = AJ
Mà 
⇒ ∠(( SAJ), ( SCI )) = ∠(AJ, CI )
( ABC ) ∩ ( SCI ) = CI

Do tam giác ABC ñều nên ∠CHJ = 900 − ∠HCJ = 900 − 300 = 600
Vậy ∠(( SAJ), ( SCI )) = ∠(AJ, CI ) = ∠CHJ = 600

Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a, dựng SA = a 3 và vuông góc với (ABCD). Tính góc giữa các mp
sau:
a. (SAB) và (ABC)
b. (SBD) và (ABD)
c. (SAB) và (SCD)
Giải:
a. Gọi O là giao ñiểm của AC và BD
a 2
2
Khi ñó ( SAB) ∩ ( ABC ) = AB

Suy ra: AO = AC =

 AB ⊥ SA
Ta có : 
⇒ AB ⊥ ( SAD)
 AB ⊥ AD
( SAD ) ∩ ( SAB) = SA
Mặt khác 
⇒ ∠(( SAB), ( ABC )) = ∠( SA, AD) = ∠SAD = 900
(
SAD
)

(
ABC
)
=
AD

b. ( SBD ) ∩ ( ABD ) = BD
 BD ⊥ SA
Ta có 
⇒ BD ⊥ ( SAC )
 BD ⊥ AC
( SAC ) ∩ ( SBD) = SA
Mặt khác 
⇒ ∠(( SBD), ( ABD)) = ∠( SO, AO ) = ∠SOA
( SAC ) ∩ ( ABD) = AO
Trong tam giác vuông SOA ta có:

SA a 3
=
= 6 ⇒ ∠(( SBD ), ( ABD )) = arctan 6
AO a 2
2
c. ( SAB) ∩ ( SCD ) = Sx / / AB / / CD
tan ∠SOA =

Mà AB ⊥ ( SAD ) ⇒ Sx ⊥ ( SAD)
( SAD ) ∩ ( SAB ) = SA
Do 
⇒ ∠(( SAB ), ( SCD)) = ∠( SA, SD ) = ∠ASD
( SAD ) ∩ ( SCD ) = SD
AD
a
1
Trong tam giác vuông ASD: tan ∠ASD =
=
=
⇒ ∠ASD = 300 ⇒ ∠(( SAB ), ( SCD)) = 300
SA a 3
3
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×