Tải bản đầy đủ

UNG DUNG TOA DO GIAI HH KHONG GIAN luyen thi Dai Hoc THPTQG

Chuyên đề 8: “PPTĐ trong không gian”

NG D NG PH
NG PHÁP T A Đ Đ GI I TOÁN
HÌNH H C KHỌNG GIAN
Các em học sinh nên nhớ rằng “Không có phương pháp giải nào là vạn năng”, do đó các em phải
không ngừng luyện tập để tạo ra sợi dây liên kết giữa các phần kiến th c c a mình, khi đó các em mới có
thể vận dụng linh hoạt các phương pháp sao cho bài giải c a mình khoa học nhất, hay nhất.
Đối với một số loại hình chóp, hình lăng trụ trong một số bài toán ta có thể sử dụng việc đặt một hệ
trục tọa độ thích hợp, để chuyển từ việc giải hình học không gian tổng hợp thuần túy (mà việc này có thể
gặp nhiều khó khăn trong dựng hình, tính toán với các em học sinh) sang việc tính toán dựa vào tọa độ.
Cách giải bài toán như vậy gọi là phương pháp tọa độ hóa.
Đối với phương pháp tọa độ hóa, việc tính toán có thể sẽ dài dòng và ph c tạp hơn phương pháp
hình học không gian thuần túy, tuy nhiên cách giải này thực sự rất hữu ích cho nhiều bạn học sinh mà
việc nắm vững những phương pháp trong cách giải hình học không gian còn yếu hoặc những bài toán
hình không gian về khoảng cách khó; về xác định GTLN, GTNN; các bài toán về quỹ tích điểm,...
Để có thể làn tốt được các bài toán giải bằng phương pháp tọa độ hóa thì các em học sinh phải nắm
chắc các kiến th c (cụ thể là các công th c tính) c a phần “Phương pháp tọa độ trong không gian” và
những kiến th c cơ bản nhất c a hình học không gian.
Sau đây thầy sẽ trình bày cụ thể phương pháp: “ ng dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học
không gian”.

Cao Văn Tuấn – 0975306275
1. Ph ng pháp
+ Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian: Vì Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng
đôi một nên nếu hình vẽ bài toán cho có ch a các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các cạnh đó
làm trục tọa độ.
+ Bước 2: Suy ra tọa độ của các đỉnh, điểm trên hệ trục tọa độ vừa ghép.
+ Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ không gian để giải quyết bài toán

2. Các bƠi toán ghép tr c t a đ th ờng g p vƠ cách suy ra t a đ các đỉnh
Các bƠi toán th ờng g p

Hình lập phương hoặc hình
hộp chữ nhật ABCD.ABCD

Cách ghép tr c

T a đ các đi m
+ Với hình lập phương:
A  0;0;0  , B  a;0;0 

C  a; a;0  , D  0; a;0 

A  0; 0; a  , B  a;0; a 
C a; a; 0 , D 0; a; a
 

 

+ Với hình hộp chữ nhật:
A  0;0;0  , B  a;0;0 

C  a; b;0  , D  0; b;0 

A  0;0; c  , B  a;0; c 
C a; b; c , D 0; b; c
 

 

https://www.facebook.com/ThayCaoTuan


1


Chuyên đề 8: “PPTĐ trong không gian”

Hình hộp ABCD.ABCD có
đáy là hình thoi.

Hình chóp S.ABCD có:
+ ABCD là hình chữ nhật,
hình vuông.
+ SA ⊥ (ABCD).

Hình chóp S.ABCD có:
+ Đáy hình chữ nhật, hình
vuông.
+ Các cạnh bên bằng nhau
(SO vuông góc với đáy).

https://www.facebook.com/ThayCaoTuan

+ Gốc tọa độ trùng với giao
điểm O c a hai đư ng chéo
c a hình thoi ABCD.
+ Trục Oz đi qua 2 tâm c a 2
đáy

A   0;0;0 

B   0; AB ;0 

C   AD ; AB ;0 

D   AD ;0;0 

S   0;0; SA 

A   0;0;0 

B   0; AB ;0 


  AD AB
;
; SO 
S  
2

  2
C  AD ; AB ;0



D   AD ;0;0 


2


Chuyên đề 8: “PPTĐ trong không gian”

Hình chóp S.ABCD đều có:
+ Đáy là hình thoi, hình
vuông.
+ SO vuông góc với đáy.

Hình chóp S.ABCD đều có:
+ Đáy là hình bình hành,
hình thoi.
+ SA vuông góc với đáy.

Hình chóp S.ABCD đều có:
+ Đáy là hình bình hành.
+ SO vuông góc với đáy.

https://www.facebook.com/ThayCaoTuan

O   0;0;0 

A   0;  OA ;0 

B    OB ;0;0 

C   0; OC ;0 

D   OD ;0;0 

S   0;0; SO 

A   0;0;0 

B   0; AB ;0 

C   DH ; AB  AH ;0 

D   DH ; AH ;0 

S   0;0; SA 



A   0;0;0 
B  0; AB ;0




C   DH ; AB  AH ;0 

D   DH ; AH ;0 

S   DH ; AB  AH ; SO 

  2
2



3


Chuyên đề 8: “PPTĐ trong không gian”

A   0;0;0 

B   0; AB ;0 

C   CH ; AH ;0 

S   0;0; SA 

Hình chóp S.ABC có:
+ Đáy là tam giác vuông,
tam giác đều.
+ SA vuông góc với đáy.

Hình chóp S.ABC có:
+ Đáy là tam giác đều cạnh
a.
+ Các cạnh bên bằng nhau.

A   0;0;0 

B   0; AB ;0    0; a;0 

C   CH ; AH ;0 

a 3 a 

; ;0 
  
2
2 



S   OH ; AH ; SO 

   a 3 ; a ; SO 
 6 2






Trên đây là một số dạng cơ bản c a một số loại hình khối mà chúng ta có thể tọa độ hóa một cách
đơn giản. Các em lưu ý rằng chúng ta có thể tọa độ hóa một khối đa diện bất kỳ. Chỉ cần chúng ta xác
định được đư ng cao c a khối đa diện đó và thông thư ng trên lý thuyết ta đều đặt gốc tọa độ là chân
đư ng cao c a khối đa diện; trục cao (trục Oz) là đư ng cao, sau đó ta dựng hai tia còn lại. Nhưng trong
thực hành giải toán chúng ta căn c tùy bài toán để đặt hệ trục miễn sao chúng ta có thể tìm các tọa độ
các đỉnh liên quan đến hình khối cần tính có thể tìm được một cách dễ dàng hoặc không quá ph c tạp.
Ví dụ như bài toán sau: (Các em hãy xem và suy nghĩ nên đặt hệ trục ra sao).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 60 0. Mặt
bên (SAB) vuông góc với đáy, tam giác SAB cân tại S. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách
giữa hai đư ng thẳng SA, BC.
Bình luận: Rõ ràng rằng việc tính thể tích c a khối chóp này là không quá khó khăn, chỉ cần các em nắm
được cách xác định góc giữa hai mặt phẳng là xác định được. Vì vậy, ý tính thể tích thầy để các em tự
suy nghĩ và thực hiện.
Với câu hỏi tính khoảng cách giữa hai đư ng thẳng chéo nhau này, các em hoàn toàn có thể thực hiện
theo hình tổng hợp. đây chúng ta bàn luận về việc đặt hệ trục tọa độ để thực hiện ý th hai này.
Trước hết các em cần lưu ý: Xác định chiều cao c a hình chóp này như thế nào?
Điều này là không quá khó: Vì sao? Hãy nhớ: “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau, trong mặt này
dựng một đư ng thẳng vuông góc với giao tuyến thì đư ng thẳng đó vuông góc với mặt phẳng kia”.
Gắn vào hình chóp này: Ta thấy mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy, mà giao tuyến c a hai mặt
phẳng này là AB. Ta cần tìm chiều cao cho nên, các em chỉ cần từ S dựng SH vuông góc với AB, (H 
AB) vì tam giác SAB cân tại S cho nên H là trung điểm AB. T c là các em đã xác định được chiều cao
và chân đư ng vuông góc.
Vậy chúng ta có thể đặt hệ trục tọa độ rồi. Các em vẽ hình và đặt hệ trục như sau:
https://www.facebook.com/ThayCaoTuan

4


Chuyên đề 8: “PPTĐ trong không gian”

S

z

A

C

x

O

B
y

3a 

O  0;0;0  , S  0;0; 4 



Tính toán tọa độ các điểm (căn c vào phần trước), ta có: 
A  0;  a ;0  , B  0; a ;0  , C(a;0;0)
 

 
2   2 
Áp dụng công th c tính khoảng cách giữa hai đư ng thẳng chéo nhau: SA, BC ta có:
SA,BC  .AB


, ta thu được kết quả cần tính.
d  SA,BC  
SA,BC 


Kể ra thì cũng không quá ph c tạp đúng không các em. Các em hãy suy nghĩ có cách đặt hệ trục tọa độ
nào khác không? mục số 4. Ví d minh h a, thầy sẽ trình bày thêm một số ví dụ cụ thể về các dạng
toán để các em hiểu rõ hơn về phương pháp này.
3. Sử d ng các kiến th c v t a đ đ gi i quyết bƠi toán
a) Kho ng cách giữa 2 đi m
Khoảng cách giữa hai điểm A  xA ; yA ; zA  và B  xB ; yB ; zB  là:

AB 

 xB  xA    yB  yA    zB  zA 
2

2

2

b) Kho ng cách từ đi m đến đo n thẳng
Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng  ?
Cách 1: Cho đư ng thẳng  đi qua M, có một vectơ chỉ phương u và một điểm A. Khoảng cách
từ A đến đư ng thẳng  được tính b i công th c:
d A,  

u , AM 


u

Cách 2:
+ Lập phương trình mặt phẳng   đi qua A và vuông góc với  .
+ Tìm tọa độ giao điểm H c a   và  .
+ d(M, d) = MH.
c) Kho ng cách từ đi m đến m t phẳng
Khoảng cách từ M0  x0 ; y0 ; z0  đến mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  0 là:

d  M 0 , P   

Ax0  By0  Cz0  D
A 2  B2  C2

d) Kho ng cách giữa hai m t phẳng song song
Đ nh nghĩa: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì c a
mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
https://www.facebook.com/ThayCaoTuan

5


Chuyên đề 8: “PPTĐ trong không gian”
e) Kho ng cách giữa hai đ ờng thẳng chéo nhau
Cho hai đư ng thẳng chéo nhau 1 và  2 , biết:

+

1 đi qua M và có một vectơ chỉ phương u1

+

 2 đi qua N và có một vectơ chỉ phương u2

Cách 1: Khoảng cách giữa hai đư ng thẳng 1 và  2 được tính bằng công th c:

u1 , u2 .MN
u1 , u2 

d  1 ,  2  

Cách 2:
+ Lập phương trình mặt phẳng   ch a 1 và song song với  2 .

+ Khi đó: d  1 , 2   d  2 ,     d  M,    với M   2 .
Đ C BI T: Tính khoảng cách giữa hai đư ng thẳng AB, CD khi biết tọa độ c a chúng:

 AB,CD  AC


d  AB,CD  
 AB,CD 


f) Kho ng cách giữa 2 đ ờng thẳng song song
Khoảng cách giữa 2 đư ng thẳng song song bằng khoảng cách từ 1 điểm bất kì thuộc đư ng
thẳng này đến đư ng thẳng kia.

 quay về dạng toán khoảng cách từ 1 điểm đến đư ng thẳng .
g) Kho ng cách giữa đ ờng thẳng  vƠ m t phẳng   (với  //   )

d ,   d M,  với M 
h) Góc giữa hai đ ờng thẳng
Cho hai đư ng thẳng: 1 có một vectơ chỉ phương u1   x1; y1; z1 
 2 có một vectơ chỉ phương u2   x2 ; y2 ; z2 

Gọi  là góc giữa hai đư ng thẳng 1 và  2 . Khi đó:

cos  

u1.u2
u1 . u2



x1 x2  y1 y2  z1 z2
x y z . x y z
2
1

2
1

2
1

2
2

2
2

 0    90 
0

2
2

i) Góc gữa hai m t phẳng
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  0 và  P' : A'x  B'y  C'z  D'  0
cos   cos  nP , nQ  

nP .nQ
nP . nQ

A.A'  B.B' C.C '



2

2

2

0

0

A  B  C . A '  B'  C '
2

2

2

   900 

j) Góc giữa đ ờng thẳng vƠ m t phẳng
Cho: Đư ng thẳng  có một vectơ chỉ phương u   x; y; z  .

Mặt phẳng   có một vectơ pháp tuyến n   A; B; C  .
Gọi  là góc giữa hai đư ng thẳng  và   . Khi đó:

sin  

u.n
u.n



Ax  By  Cz
2

2

2

 0    90 
0

A B C . x  y  z
2

2

2

k) Di n tích thiết di n
1
 AB, AC .

2
  AB, AD .

+ Diện tích tam giác ABC: SABC 

+ Diện tích hình bình hành: SABCD
https://www.facebook.com/ThayCaoTuan

6


Chuyên đề 8: “PPTĐ trong không gian”
l) Th tích khối đa di n

+ Thể tích khối hộp: VABCD.A'B'C'D'   AB, AD .AA' .
1
+ Thể tích t diện: VABCD   AB, AC .AD .
6

4. Ví d minh h a
Ví d 1: Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh là a. Gọi N là trung điểm c a BC .
a) Ch ng minh rằng: AC vuông góc với  ABD  .
b) Tính thể tích khối t diện ANBD .
c) Tính góc và khoảng cách giữa hai đư ng thẳng AN và BD .
d) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng  ACD  .

Gi i:
Các em lưu ý, đây là một bài tính toán và ch ng minh các yếu tố liên quan đến hình lập phương, chúng ta
có thể thực hiện bằng phương pháp tổng hợp, thầy không trình bày phương pháp đó nữa, mà giải bài toán
này theo phương pháp tọa độ hóa.
Như đã nói phần trước, với hình lập phương và hình hộp chữ nhật thì việc chọn hệ trục tọa độ là rất dễ
dàng. Thầy chọn hệ trục như sau. (Các em hãy chọn hệ trục khác đi và giải nó theo cách của các em).
Khi đó ta có tọa độ các đỉnh c a hình lập phương như sau:
z
A '  0;0;0  , B'  a;0;0  , C '  a; a;0  , D '  0; a;0 
D
A


 a 
A  0;0; a  , B  a;0; a  , C  a; a; a  , D  0; a; a  , N  a; 2 ;0 


C

B
a) Mục đích c a ta là ch ng minh một đư ng thẳng
vuông góc với một mặt phẳng. Ta sẽ chỉ ra rằng
VTCP c a đư ng thẳng này cùng phương với VTPT
c a mặt phẳng  ABD  .
D'
Ta có: AC'   a; a; a 

 A'B, A'D   a 2 ; a 2 ; a 2  là véc tơ pháp tuyến


c a mặt phẳng  ABD  .

y

A'=O
x

B'

C'

Ta thấy hai vrctơ AC' và  A'B, A'D  cùng phương.
Vì thế ta có AC vuông góc với mặt phẳng  ABD  .
b) Tính thể tích t diện ANBD .
1
Ta có công th c tính thể tích t diện là: VANBD'   AN,AB .AD .
6
2


2 a 
  AB,AN    0; a ; 
2 



.
Ta có: AD  (0; a; a)

3
 AB,AN  .AD  a

2


a3
(đvtt).
Do đó thể tích tìm được là: V 
12
c) Để tính góc giữa hai đư ng thẳng và khoảng cách giữa hai đư ng thẳng ta sử dụng hai công th c
 a , b  .AB
a.b


sau: cos  a, b   cos a , b 
.
và d (a, b) 
a, b 
a b



 

https://www.facebook.com/ThayCaoTuan

7


Chuyên đề 8: “PPTĐ trong không gian”
Với a , b là các véc tơ chỉ phương c a đư ng thẳng a và b. Đư ng thẳng a,b lần lượt đi qua hai
điểm A và B.
AN.BD
3
.
Do đó ta có góc giữa hai đư ng thẳng AN và BD là: cos  AN, BD  =

9
AN BD
 AN, BD .AB a 26


.
Khoảng cách giữa hai đư ng thẳng này là: d  AN, BD  

26
 AN, BD


d) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  ACD  .

Viết phương trình mặt phẳng  ACD  .
Mặt phẳng  ACD  có véc tơ pháp tuyến cùng phương với  AC,AD   a 2 ;0; a 2  .
Ta chọn véc tơ pháp tuyến c a mặt phẳng  ACD  là n  (1;0;1) .

Vì thế phương trình mặt phẳng  ACD  là: x  z – a  0 .
Áp dụng công th c khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta có: d  C,  ACD   

a
2

Ví d 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có cạnh AB  1, AD  1, AA  2 .
a) Tính khoảng cách giữa hai đư ng thẳng AC và BD.
b) Gọi  Q  là mặt phẳng qua A vuông góc với AC . Tính diện tích c a thiết diện c a hình chóp
A.ABCD cắt b i mặt phẳng  Q  .

Gi i:
Chúng ta đặt hệ trục tọa độ giống như ví dụ 1. Từ đây ta tính được tọa độ các đỉnh như sau:
A  0;0;0  , B 1;0;0  , D  0;1;0  , A 0;0; 2





a) Dành cho các em tự tính toán.
b)
Với bài toán này, các em có thể viết
được phương trình mặt phẳng  Q  , các
đư ng thẳng: AB, AC, AD và tìm giao

điểm c a nó với mặt phẳng  Q  , ta có
B'
tọa độ các giao điểm là:
2
2 1 1 2  2 2
M  ;0;
, N ; ;
 , P  0; ;

3   2 2 2   3 3 
3
Ta có thiết diện là t giác AMNP.
Và diện tích c a t giác này là:
2 2
x
SAMNP  SAMN  SANP 
B
3

https://www.facebook.com/ThayCaoTuan

A'

z

D'

C'

D
y

A=O
C

8


Chuyên đề 8: “PPTĐ trong không gian”
Ví d 3: Cho hình chóp t giác đều S.ABCD có cạnh BD  2 2 . Mặt bên tạo với mặt đáy góc 600 .
a) Tính thể tích khối chóp, xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
b) Tính góc và khoảng cách giữa hai đư ng thẳng SB và AC.
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng  SAB và  SCD  .

d) Gọi I là trọng tâm tam giác SAB, tính khoảng cách từ I đến các mặt phẳng  ABCD  và  SCD  .

Gi i:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ
các đỉnh như sau:
O  0;0;0  , A 0;  2;0


B 2;0;0 , D  2;0;0

C 0; 2;0 ,S 0;0; 3

Đến đây công việc còn lại là tính toán, thầy để
dành cho các em.





 
 






z

S



I
A

J
x

D
O

B

C

y

Các em có thể thấy rằng nếu như tọa độ hóa một khối đa diện được thì việc giải những bài toán hình
không gian tr nên đơn giản hơn rất nhiều.
Sau đây chúng ta xét một số khối đa diện mà việc tọa độ và tính toán ph c tạp hơn.
Ví d 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh là 5 tâm O, SO vuông góc với đáy;
các cạnh bên SA  2 3,SB  3 . Gọi M là trung điểm c a cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đư ng thẳng SA và BM.
b) Mặt phẳng  AMB cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.

Gi i:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có tọa độ các
O 0;0;0 , A 2;0;0 , B(0;1;0)
 

 

đỉnh như sau: C  2;0;0  , D  0; 1;0 

S 0;0; 2 2 , M 1;0; 2

 



a) Ta có cos  SA,BM  

SA.BM

z



N

3
.
2



SA . BM

 SA,BM   30 .

S

M

D

C

0

x

SA, BM  .SB

 ...
d  SA,BM   
SA, BM 



O

A

By

b) Viết phương trình mặt phẳng  AMB và phương trình đư ng thẳng SD. Từ đó tìm được tọa độ
giao điểm D c a  AMB và SD.
Ta có: VS.ABMN  VS.AMB  VS.AMN 

1
1
SA,SB .SM  SA,SN  .SM  ...



6
6

https://www.facebook.com/ThayCaoTuan

9


Chuyên đề 8: “PPTĐ trong không gian”
5. BƠi tập rèn luy n
BƠi 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, SA  a 2 . Gọi M là trung
điểm c a AB. Tính khoảng cách giữa hai đư ng thẳng SM và BC.
a
ĐS: d  .
6
BƠi 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ điểm H c a cạnh AB dựng SH vuông góc với (ABCD), biết
góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và mặt đáy bằng 600.
a) Tính SH và khoảng cách từ H đến (SCD).
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK) biết K là trung điểm c a cạnh AD.
a 3
a 21
b)   900
ĐS: a) SH 
, d  H,  SCD   
2
7
BƠi 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, AC = a. Tam giác SAB cân tại
S, và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy một góc  sao cho tan   2 .
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Tính khoảng cách từ O đến (SCD)
c) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
2a 57
a 21
b) d  A, SBC   
ĐS: b) d  O,  SCD   
19
14
BƠi 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông, đư ng cao AB, BC = 2a, SA = a. SA
vuông góc với đáy. Biết SC vuông góc với BD.
a) Tính độ dài đoạn thẳng AD.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
c) Gọi M là điểm trên đoạn SA, AM = x, Tính độ dài đư ng cao DE c a tam giác BDM theo a, x.
Tìm x để DE có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

a 3
khi x  a
DE max 
a
2
c) 
ĐS: a) AD 
2
DE  a
khi x  0
 min 2

BƠi 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, với AB =2a, BAC  300 ,SA  2a và
vuông góc với đáy.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
b) Gọi M là điểm di động trên cạnh AC sao cho AM = x, 0  x  a 3 . Tính khoảng cách từ S đến





BM theo a, x. Tìm x để khoảng cách trên đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
BƠi 6 (ĐH ĐƠ N ng khối A năm 2001): Cho t diện S.ABC có SC  CA  AB  a 2 . SC vuông góc
với (ABC), tam giác ABC vuông tại A, các điểm M, N lần lượt thuộc SA và BC sao cho AM  CN  t
với  0  t  2a  .
a) Tính độ dài đoạn MN, tìm t để độ dài đoạn MN nhỏ nhất.
b) Khi MN nhỏ nhất, ch ng minh rằng MN là đư ng vuông góc chung c a BC và SA.
BƠi 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên c a hình chóp bằng
nhau. Biết khoảng cách từ S đến (ABC) là h. Tìm điều kiện c a h để hai mặt phẳng (SAB) và (SAC)
vuông góc. Khi đó hãy tính thể tích khối chóp S.ABC.
BƠi 8 (ĐH khối B năm 2002): Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh là a.
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đư ng thẳng A1B và B1D .

b) Gọi M, N, P theo th tự là trung điểm c a các cạnh BB1 ,CD, A1D1 . Tính góc giữa MP và C1 N .
BƠi 9 (ĐHSP TPHCM năm 1992): Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh là a. Gọi M, N theo
th tự là trung điểm c a AD và CD. Lấy P trên cạnh BB1 sao cho BP = 3PB1. Xác định và tính diện tích
thiết diện c a hình lập phương cắt b i mặt phẳng (MNP).
7a 2 6
ĐS: S 
16
https://www.facebook.com/ThayCaoTuan

10


Chuyên đề 8: “PPTĐ trong không gian”
BƠi 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB = a, AD = 2a, AA1 = a.
a) Tính khoảng cách giữa hai đư ng thẳng AD1 và B1C.
AM
b) Gọi M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số
 3 . Hãy tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng
MD
(AB1C).
c) Tính thể tích khối t diện AB1D1C.
BƠi 11: Cho lăng trụ đ ng ABC.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B , biết BA=a. cạnh bên
AA '  a 2 . Gọi M là trung điểm c a cạnh BC. Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai
đư ng thẳng AM, BC .
BƠi 12: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có độ dài cạnh bên là 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A,
AB  a , AC  a 3 , hình chiếu vuông góc c a A lên (ABC) là trung điểm c a BC. Tính theo a thể tích
khối chóp A.ABC và tính cos c a góc giữa hai đư ng thẳng AA và BC .
BƠi 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA =a, SB  a 3 . Mặt phẳng
(SAB) vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm c a AB và BC. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD và cos c a góc giữa hai đư ng thẳng SM và DN.

https://www.facebook.com/ThayCaoTuan

11


GI I BÀI TOÁN HÌNH HỌC KH4NG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

Bài . Cho hình lăng trụ đ ng “”C.“’”’C’, đ{y “”C l| tam gi{c vuông tại A, AB  a,AC  2a,AA'  b .
Gọi M, N lần lượt l| trung điểm c a ””’ v| “”.
a. ởính theo a v| b thể tích c a t diện “’CMN.
b. ởính tỉ số

b
để B'C  AC' .
a

Gi i
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có O  A , c{c tia Ox, Oy, Oz lần lượt đi
qua

cấc

điểm

”,

C,

“’.

Khi

đó

A  0;0;0  ,

z

B a;0;0  ,

A'



b  a
C  0;2a;0  ,A'  0;0;b  ,B'  a;0;b  , C'  0;2a;  , M  a;0;  ,N  ;0;0 
2  2



C'

B'

a. Thể tích c a t diện “’CMN l|:
V

1
A'C,A'M  .A'N

6

M



  A'C,A'M   ab; ab; 2a2



y

A O

a


b
ởa có A'C   0;2a; b  , A'M   a;0;   , A'N   ;0;  b 
2
2



C
N



B

x

a2 b
3a2 b
  A'C,A'M  .A'N  
 0  2a2 b 


2
4
Vậy VA 'C MN 

1 3a2 b a2 b

6 4
8

b. ởa có: B'C   a; 2a;c , AC'   0;2a;b 
B'C  AC'  B'C.AC'  0  0  4a2  b2  0  b  2a 

b
2
a

Bài . Cho hai hình chữ nhật “”CD v| “”EF
trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau,
AB  2a,BC  BE  a . ởrên đư ng chéo “E lấy điểm M v| trên đư ng chéo ”D lất điểm N sao cho
AM BN

 k với k   0;1 . ởính k để MN l| đoạn vuông góc chung c a “E v| ”D.
AE BD
Gi i

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A  O , c{c tia Ox, Oy, Oz
lần

lượt

đi

qua

D,

”,

F.

Khi

đó

z

A  0;0;0  ,

B 0;2a;0 , C a;2a;0 , D a;0;0 , E  0;2a;a  , F  0;0;a 

Ta có:

AM
 k  AM  kAE, k   0;1
AE

M

y

O≡A

M| AM v| AE cùng hướng nên AM  kAE , đo đó tọa độ
c a M l|:
x M  kx E  0

y M  ky E  2ka hay M  0;2ka;ka 
z  kz  ka
E
 M

E

F

B

N
D
C
x

Trần Đình Cư. Gv TH PT Gia Hội, TP Huế. SĐT:

12

1


x N  0  k  a  0 

ởư ng tự BN  kBD  y N  2a  k  0  2a  hay N  ka;2a  2ka;0 

z N  0  k  0  0 

MN   ka;2a  4ka;  ka 


ởa có: AE   0;2a;a 

BD   a; 2a;0 
4a2  8ka2  ka2  0

4
MN.AE  0

MN l| đoạn vuông góc chung c a “E v| ”D  

k
2
2
2
9
MN.BD  0 
 ka  4a  8ka  0


4
9
Bài . Cho hình lập phư ng “”CD.“’”’C’D’ cạnh bằng a. ởrên c{c cạnh ””’, CD, “’D’ lần lượt lấy c{c

Vậy MN l| đoạn vuông góc chung c a “E v| ”D khi k 

điểm M, N, P sao cho B'M  CN  D'P  x , x   0;a  .
a. Ch ng minh AC'   MNP  .

b. X{c định vị trí c a M, N, P để tam gi{c MNP có diện tích bé nhất.
Gi i
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có O  A , c{c tia Ox, Oy, Oz lần lượt đi

z

qua c{c điểm ”, D, “’. Khi đó A  0;0;0  , B a;0;0  , C  a;a;0  ,

A'

D  0;a;0  , A'  0;0;a  , B'  a;0;a  ,

C'  a;a;a , D'  0;a;a  , M  a;0;a  x  , N  a  x;a;0  , P  0;a  x;a 

B'
x
M

a. ởa có AC'   a;a;a 
MN   x;a; a  x 

P x

C'

D

A

MP   a;a  x;x 

B


AC'.MN  0 
AC'  MN
 AC'   MNP  đpcm


AC'.MP
0
AC'
MP







D'

x

y

N

C

x

2

b. ởa có MN  MP  NP  x2  a2   a  x   2x2  2ax  2a2

 ởam gi{c MNP l| tam gi{c đều có cạnh bằng

 Diện tích c a tam gi{c MNP l|: S 
hay S 

2 x2  ax  a2

MN2 3
3 2

x  ax  a2
4
2





2
3 
a  3a2  3a2 3
a
x


Dấu = xảy ra  x 

 
2 
2
4 
8
2



Vậy min  S 

3a2 3
khi M, N, P lần lượt l| trung điểm c a c{c cạnh ””’, CD, “’D’.
8

Bài . Cho hình lập phư ng “”CD.“’”’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M v| N lần lượt l| trung điểm c a AD
v| ””’. Ch ng minh AC'   AB'D' v| tính thể tích c a khối t diện “’CMN.
Gi i
Trần Đình Cư. Gv TH PT Gia Hội, TP Huế. SĐT:

13

2


Chọn

hệ

trục

độ

tọa

Oxyz



như

D  0;a;0 , A' 0;0;a , B' a;0;a , C' a;a;a , D' 0;a;a

hình

v ,

ta

A  0;0;0  , B a;0;0  ,

có:



a. ởa có A'C   a;a;  a  , AB'   a;0;a  , AD'   0;a;a 

z

 A'C.AB'  0 v| A'C.AD'  0
 A'C  AB' v| A'C  AD'

D'

A'

 A'C   AB'D'  đpcm

B'

b. Thể tích c a t diện “’CMN l|:
V

C  a;a;0  ,

1
A'N,A'M  .A'C

6

C'

D

A

N

y

M


 a 
a
ởa có: N  a;0;  , M  0; ;0 
2

 2 

B


 a

a
 A'N   a;0;   , A'M   0; ; a  v| A'C   a;a; a 
2

 2


C

x

 a2
a2 
a3
a3 3a3
  A'N,A'M    ;a2 ;  v|  A'N,A'M  .A'C   a3  

  4


2 
4
2
4

1 3a3 a3
Vậy V  .
đvtt

6 4
8

diện Ở“”C có SC  CA  AB  a 2, SC   ABC  , tam gi{c “”C vuông tại “. C{c điểm

Bài . Cho t

M  SA, N BC sao cho AM  CN  t  0  t  2a  . ởính t để MN ngắn nhất. ởrong trư ng hợp n|y ch ng
minh MN l| đoạn vuông góc chung c a ”C v| Ở“ đồng th i tính thể tích c a khối t diện ABMN.
Gi i
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A  O  0;0;0  , tia Ox ch a
AC, tia Oy ch a “” v| tia Oz cùng hướng với vec-t



 



z

CS .

S

Khi đó ta có A  0;0;0  , B 0;a 2;0 , C a 2;0;0 ,



S a 2;0;a 2



M
y

A

B

N
C
x

Trần Đình Cư. Gv TH PT Gia Hội, TP Huế. SĐT:

14

3


MH  Ax  H  Ax  v| MK  Az

V

NI  Ax  I  Ax 

V

NJ  Ay

v|

 J  Ay 

 K  Az 
z

y

B

S

M

K

N

J

t

t

x

A

H

C

A

I

C

x

Vì tam gi{c ỞC“ vuông c}n C nên Vì tam gi{c INC vuông c}n
MH“K l| hình vuông có cạnh
NC 2 t 2
 IN  IC 

huyền bằng t
2
2

t 2 t 2 
t 2
 Na 2 
;
;0 
 AH  AK 


2
2
2


t 2
t 2
 M
;0;

 2
2 


I


t 2 t 2
;
a. ởa có: MN   2  a  t  ;



2
2


 MN  2  a  t 

2

2

 2a  2a2
t2 t2
2
   3t 2  4at  2a2  3  t   
a
2 2
3 
3
3


Đẳng th c xảy ra khi t 

2a
3

2
2a
khi t 
3
3

Vậy MN ngắn nhất bằng a

a 2 a 2 a 2 

2a 
;
;
b. Khi MN ngắn nhất  t   , ta có MN  

 3
3
3 
3 









ởa còn có SA  a 2;0;a 2 v| BC  a 2; a 2;0




MN.SA  0 
MN  SA



MN.BC  0 
MN  BC

Vậy MN l| đư ng vuông góc chung c a Ở“ v| ”C đpcm
Bài . Cho khối lăng trụ tam gi{c đều có cạnh đ{y bằng a v| AB'  BC' . ởính thể tích c a khối lăng trụ.
Gi i
Gọi O l| trung điểm c a AC.
Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ l| O, tia Ox đi qua “, tia Oy đi qua ”.

Trần Đình Cư. Gv TH PT Gia Hội, TP Huế. SĐT:

4
15


a
  a 3 
;0  ,
Khi đó A  ;0;0  , B  0;

2
2
 


z

C'

B'

 a 3 
 a

 a

; h  , C'   ;0; h 
C   ;0;0  , B'  0;


2
2
2







A'

 h  AA'  BB'  ...
 a a 3 
 a a 3 
;h
; h  v| BC'    ; 
ởa có AB'    ;


 2 2

2





y

a2 3a2
a 2
AB'  BC'  AB'.BC'  0 

 h2  0  h 
4
4
2

C

B
O

A
x
a2 3 a 2 a3 6
.

4
2
8
Bài . Cho khối lập phư ng “”CD.“’”’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt l| trung điểm c a c{c
cạnh “’”’, ”C, DD’.

Vậy thể tích c a khối lăng trụ l| V  SΔABC .h 

a. ởính góc giữa hai đư ng thẳng “C’ v| “’”.

b. Ch ng minh AC'   MNP  v| tính thể tích c a khối t diện AMNP.
Gi i
Chọn hệ trục tọa độ “’xyz như hình v , ta có: A'  0;0;0  , B1;0;0  , C' 1;1;0  , D'  0;1;0  , A  0;0;1 ,

1

 1 
1
B1;0;1 , C 1;1;1 , D  0;1;1 , M  ;0;0  , N  1; ;1 , P  0;1; 
2
 2 

2


a. ởa có AC'  1;1; 1 v| A'B  1;0;1

 AC'.A'B  0

 Góc giữa hai đư ng thẳng “C’ v| “’” có số đo bằng 900
b.

1 1 
 1 1
MN   ; ;1 v| MP    ;1; 
 2 2
2 2 

z

 AC'.MN  0 v| AC'.MP  0
 AC'  MN v| AC'  MP

D

A

 AC'   MNP  đpcm

Thể tích khối t diện “MNP l|:

N

B

C

 3 3 3
1
V   MN,MP  .MA với  MN,MP     ;  ;  ,




6
 4 4 4

D'

A'

 1

MA    ;0;1
 2


P
y

M

1 3
3
3
Vậy V  .  0  
đvtt)
6 8
4 16

B'

C'

x
Bài . Cho hình chóp Ở.“”CD có đ{y “”CD l| hình vuông cạnh
a, mặt bên Ở“D l| tam gi{c đều v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Gọi M, N, P lần lượt l|
trung điểm c a SB, BC, CD. Ch ng minh rằng AM  BP v| tính thể tích c a khối t diện CMNP.

Gi i
Trần Đình Cư. Gv TH PT Gia Hội, TP Huế. SĐT:

16

5


Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với “, tia Ox đi

z

qua ”, tia Oy đi qua D, tia Oz cùng hướng với vec-t HS

S

H l| trung điểm c a AD), khi đó A  0;0;0  , B a;0;0  ,

C  a;a;0  ,

D  0;a;0  ,

 a a 3
S  0; ;
,
 2 2 



a a a 3
M ; ;
,
2 4 4 



M


 a  a
N  a; ;0  , P  ;a;0 

 2  2

y

H

O

A

a a a 3
 a

ởa có AM   ; ;
 v| BP    ;a;0 
2 4 4 
 2




D
P

B
C

N

x

AM.BP  0  AM  BP đpcm
Thể tích c a CMNP l| V 

1
CM,CN  .CP

6


 a

CP    ;0;0 
 2


ởa có 
CM    a ;  3a ; a 3  , CN   0;  a ;0 



 2 4 4 
2 





 a2 3 a2 
a3 3
 CM,CN   
;0;   CM,CN  .CP  

  8

4  
16

Vậy VCMNP 

1 a3 3 a3 3


6
16
96

Bài . Cho hình chóp t gi{c đều Ở.“”CD có cạnh đ{y bằng a 2 , cạnh bên hợp với đ{y góc 450 . Gọi O
l| t}m c a “”CD v| I, J, K lần lượt l| trung điểm SO, SD, DA.

a. X{c định đoạn vuông góc chung c a IJ v| “C.
b. ởính thể tích c a khối t diện AIJK.
Gi i
a. IJ l| đư ng trung bình c a tam gi{c ỞOD.
 IJ∥OD  IJ  SO hay IJ  IO

SO   ABCD   SO  AC hay IO  AC

Từ

v|

z

(1)
S

(2)

suy ra IO l| đoạn vuông góc chung c a IJ v| “C.

J

b. Góc giữa cạnh bên ỞD v| đ{y “”CD l| SDO  450

I

 ởam gi{c ỞOD vuông c}n tại O
a 2
2
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có O trùng với t}m c a hình vuông
“”CD, tia Ox đi qua C, tia Oy đi qua D v| tia Oz đi qua Ở. \

K

A

450

y

D

 OS  OD 

O

B

C
x

 a 2
 
a 2 
;0;0  , B  0; 
;0  ,
Khi đó A  
 2
 

2

 

Trần Đình Cư. Gv TH PT Gia Hội, TP Huế. SĐT:

6
17


 a 2  
a 2 
a 2  a 2 a 2  a 2 a 2 
D  0;
;0  , S  0;0;
;
;
;0 
 , I  0;0;
 , J  0;
, K  

 

2
2  
4  
4
4   4
4

 

1
AI,AJ  .AK

6

Thể tích c a t diện “IJK l| V 


a 2 a 2
AI  
;0;

 2
4 



 a2
a 2 a 2 a 2 

a2 
a3 2
ởa có AJ  
;
;
   AI,AJ     ;0;    AI,AJ  .AK  

  8

 2
4  
32
4
4 




AK   a 2 ; a 2 ;0 

 4

4




Vậy VAIJK 

1 a3 2 a3 2


6
32
192

Bài . Cho khối lập phư ng “”CD.“’”’C’D’ có cạnh bằng a. K l| trung điểm c a DD’ v| O l| t}m c a
hình vuông ““’”’”. ởính thể tích c a khối t diện “IK“’. Ởuy ra khoảng c{ch từ “’ đ n mặt phẳng
“”’K
Gi i

z

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có A  O , c{c tia Ox, Oy, Oz lần
lượt

đi

qua

”,

D,

“’.

Khi

B a;0;0 , B' a;0;a , C a;a;0

đó

A  0;0;0  , A'  0;0;a  ,

C'  a;a;a  , D  0;a;0  , D'  0;a;a  ,


a a a
K  0;a;  , I  ;0;  I l| trung điểm c a “”’ v| “’”
2 2 2


B'

B

 a
a a 
a
  AI,AK     ;  ;    AI,AK  .AA' 

  2

4 2  
2

2

K

D

A

a a

a
ởa có AI   ;0;  , AK   0;a;  , AA'   0;0;a 
2
2 2

2

C'
I

1
Thể tích c a khối t diện “IK“’ l| V   AI,AK  .AA'

6

2

D'

A'

3

x

y

C

1 a3 a3
Vậy VAIKA '  . 
6 2 12

ởa có  AB'K    AIK 



 



 d A',  AB'K   d A',  AIK  
SΔAIK 



3VA '.AIK
SΔAIK

với VA '.AIK 

a3
v|
12

1
1 a4 a4 a4 3a2
AI,AK  



 2 4 16 4
2
8



Vậy d A',  AB'K  

3a2 3a2 2a
:

12 8
3

Bài . Cho hình lập phư ng “”CD.“’”’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M l| trung điểm c a cạnh “D v| N l|
t}m c a hình vuông CC’D’D . ởính b{n kính mặt cầu ngoại ti p t diện ”C’MN.
Gi i
Trần Đình Cư. Gv TH PT Gia Hội, TP Huế. SĐT:

18

7


Chọn hệ trục tọa độ “’xyz như hình v .

z

ởa có A'  0;0;0  , B'  a;0;0  , C'  a;a;0  ,
D'  0;a;0  , A  0;0;a  , B a;0;a  ,

a a
 a 
C  a;a;a  , D  0;a;a  , M  0; ;a  , N  ;a; 
 2 
2 2

N

Mặt

cầu



đi

qua

”,



2

δ

C’,

M,

D'

A'

x2  y2  z2  2αx  2 y  2 z  δ  0
2

B'

N

D

C

B

Phư ng trình mặt cầu (S) ngoại ti p t diện ”C’MN có dạng:

”{n kính mặt cầu nói trên l| R  α2 

M

A

y

C'

nên: x

2αa  2 a  δ  2a2
 a2  0  a 2  2 αa  0  2 a  δ  0
1


2αa  2 a  δ  2a2
 a2  a2  0  2 αa  2 a  0  δ  0
2


2

5a2
 0  a  a2  0  a  2 a  δ  0  
a
2
a
δ




 3


4
4
 2

2
6a2
 a  a2  a  α a  2 a  a  δ  0

α
a

2
a

a

δ


 4
 4
4
4


(1) trừ (2)  

(5)

(2) trừ (3) k t hợp với  5   2α   

(3) trừ (4) k t hợp với

(6) trừ (7)  

Thay α,

v|o

a
m|
4

ta được α  



nên



3a
4

(6)

a
4

(7)

a
4

ta được δ  2a2

Vậy b{n kính mặt cầu ngoại ti p t diện ”C’MN l|: R  α2 

2



2

δ 

a2 a2 a2
a 35
   2a2 
16 16 16
6

Bài . Cho hình chóp t gi{c đều Ở.“”CD có cạnh đ{y bằng a v| chiều cao bằng h. Gọi I l| trung điểm
c a cạnh bên ỞC. ởính khoảng c{ch từ Ở đ n mặt phẳng (ABI)
Gi i

z

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ l| t}m O c a hình
vuông “”CD, tia Ox ch a OA, tia Oy ch a O” v| tia Oz ch a
OS.

S

a 2
  a 2   a 2

;0;0  , B  0;
;a  , C  
;0;0  , S  0;0;h 
Khi đó A 
 2
 
  2

2

 
 


I
M

Giao điểm M c a ỞO v| “I l| trọng t}m c a tam gi{c Ở“C v| ta

D


h
có M  0;0; 
3


Mp “”I c)ng l| mp “”M . Vậy, phư ng trình c a mp(ABI)
x
l|:

C
O

A

B

y

Trần Đình Cư. Gv TH PT Gia Hội, TP Huế. SĐT:

8
19


x
a 2
2



y
a 2
2



x
y
z
z

 1  0
 1 hay
h
a 2 a 2 h
3
3
2
2
h
1
h
3

vậy khoảng c{ch từ S tới mp “”I l|: d 

 1

a 2

 2

2

 
  1
 
 a 2
 
  2

2

  2
 1
  
 h
  3 


2



2
a2



2
a2



9

hay d 

h2

2ah
4h2  9a2

Bài . Cho hình lập phư ng “”CD.“’”’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M l| trung điểm c a cạnh ”C. ởính
khoảng c{ch từ A tới mặt phẳng “’MD
Gi i
Chọn hệ trục tọa độ như hình v .

z

Kéo d|i DM cắt AB tại E.

A'

1
ởa có BM  AD
2
 ”M l| đư ng trung bình c a tam gi{c “DE

C'

B'

 ” l| trung điểm c a AE

D

A

  AE  2AB  2 . Khi đó:

A  0;0;0  , E  2;0;0  , D  0;1;0  , A'  0;0;1 .

B

Mp “’MD c)ng l| mặt phẳng (“’ED nên phư ng trình c a
mặt phẳng “’MD l|:

D'





C

E

x y z
   1  x  2y  2z  2  0
2 1 1

 Khoảng c{ch từ A tới mp “’MD l| d A,  A'MD  

M

y

x

2
1 4  4



2
3

Bài . Cho hình chóp Ở.“”CD có đ{y “”CD l| hình thoi cạnh bằng a v| BAD  1200 , đư ng cao SO (O
l| t}m c a ABCD), SO  2a . Gọi M, N lần lượt l| trung điểm c a DC v| Ở”.
a. ởính thể tích c a khối t diện SAMN.
b. Ch ng minh rằng tồn tại duy nhất một mặt cầu t}m O v| ti p xúc với bốn mặt bên c a S.ABCD.
ởính thể tích c a khối cầu tạo b i mặt cầu nói trên.
z

Gi i
ởa có BAD  1200  ABC  600

S

“”CD l| hình thoi cạnh bằng a v| ABC  600
N

 “”C, “DC l| c{c tam gi{c đều cạnh bằng a.
 OA  OC 

Chọn

hệ

a 3
a
v| OB  OD 
2
2

trục

tọa

độ

Oxyz

C

như

hình

a

O  0;0;0  , A  ;0;0  ,
2


v .

Khi

đó

B
M

D

y

O

A

x

Trần Đình Cư. Gv TH PT Gia Hội, TP Huế. SĐT:

9
20


 a a 3   a 3 
 a
  a 3  
a 3 
;a 
;0  , N  0;
C   ;0;0  , B  0;
;0  , D  0; 
;0  , S  0;0;2a  , M   ; 

 4
 
 

4
4
2
2
 2
 


 
 

a. Thể tích c a t diện Ở“MN l| V 

1
SA,SM  .SN

6

 a a 3

 a 3

a

SA   ;0; 2a  , SM    ; 
; 2a  , SN   0;
; a 
 4



4
4
2





 a2 3 3a2 a2 3 
3a3 3 a3 3 a3 3
 SA,SM    
;
;


  SA,SM  .SN 

 

2
2
8  
8
8
2

a3 3
12
b. Mặt cầu t}m O v| ti p xúc với bốn mặt bên.

Vậy VSAMN 

x
y
z


 1 hay 4 3x  4y  3z  2a 3  0
a a 3 2a
2
2

Phư ng trình mp Ở“” l|:





 d O,  SAB 

2a 3
67

3
67

 2a



 

 



ởư ng tự ta c)ng có: d O,  SBC   d O,  SCD   d O,  SDA   2a

3
67

Vậy tồn tại duy nhất mặt cầu t}m O v| ti p xúc với bốn mặt bên Ở“” , Ở”C , ỞCD , ỞD“ , b{n kính

3
đpcm
67

c a mặt cầu n|y bằng 2a

Bài . Cho t diện O“”C có O“, O”, OC vuông góc với nhau từng đôi một v| OA2  OB2  OC2  3 .
ởính thể tích c a OABC khi khoảng c{ch từ O đ n mặt phẳng “”C đạt gi{ trị lớn nhất.
Gi i
2

Đặt OA  a, OB  b v| OC  c (a,b,c  0) ta có a  b2  c2  3
Chọn

hệ

trục

tọa

độ

Oxyz

như

O  0;0;0  , A  a;0;0  , B 0;b;0  , C  0;0;c

hình

v ,

ta

z



C

x y z
  1
a b c

Phư ng trình mp “”C l|:

hay bcx  acy  abz  abc  0





 d O,  ABC  

y

O

1
1
a

2



1
b

2



B

1
c2

a2  b2  c2  3 3 a2 b2 c2

Theo bất đẳng th c Côsi ta có:  1
1
1
1
 2  2  2  33 2 2 2
 a
b
c
a b c

Trần Đình Cư. Gv TH PT Gia Hội, TP Huế. SĐT:

A
x

10
21






 1
 1
1
1
1
1
1
1
1
 a2  b2  c2  
   9  3 
 9


 3
2
2
2
2
2
2
2
2
b
c 
b
c 
a
b
c2
a
a

1
1
a2





1
b2



1



1
3

c2

1



 d O,  ABC  

3

Dấu = xảy ra  a2  b2  c2  1 hay a  b  c  1



Vậy d O,  ABC 



đạt gi{ trị lớn nhất bằng

1
3

khi a  b  c  1 v| trong trư ng hợp n|y

1
abc 1
đvtt
VOABC  OA.OB.OC 

6
6
6

. Cho hình chóp Ở.“”CD có đ{y “”CD l| hình vuông cạnh a, cạnh bên SA   ABCD  v| SA  2a .

Bài

Gọi M, N lần lượt l| trung điểm c a SA, SD.
a. ởính khoảng c{ch từ “ đ n mp ”CM v| khoảng c{ch giữa hai đư ng thẳng Ở” v| CN.
b. ởính cô-sin góc giữa hai mặt phẳng ỞCD v| Ở”C
c. ởính tỉ số thể tích giữa hai phần c a hình chóp Ở.“”CD chia b i mp(BCM)
Gi i
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có A  O , tia Ox ch a AB, tia Oy ch a “D v| tia Oz ch a “Ở. Khi đó
 a 
A  0;0;0  , B a;0;0  , C  a;a;0  , D  0;a;0  , S  0;0;2a  , M  0;0;a , N  0; ;a 
 2 

ởa có BC   0;a;0  v| BM   a;0;a



  BC,BM  a2 ;0;a2



z



S

a. Mp ”CM có vtpt
1 
. BC,BM   1;0;1
2 

a
Vậy phư ng trình c a mp ”CM l|:
n

M

1 x  a  0  y  0   1 z  0   0 hay x  z  a  0





 d A,  BCM  

a
2

2

1 1



a
2

N

D

A

B
x

y

C

ởa có:

a 
BS   a;0;2a  , CN   a;  ;a  ,SC   a;a; 2a 
2 



a2 
  BS,CN    a2 ; a2 ;    BS,CN  .SC  a3  a3  a3  a3

 

2  

 BS,CN  .SC
a3
a3
2a

 Khoảng c{ch giữa hai đư ng thẳng Ở”, CN l|: d  SB,CN   



2
3
 BS,CN 
a4 3a


a4  a4 
2
4

b.



SC,SD  0;2a2 ;a2





 Mp ỞCD có vec-t ph{p tuy n n   0;2;1
Trần Đình Cư. Gv TH PT Gia Hội, TP Huế. SĐT:

11
22










SB,SC  2a2 ;0;a2  Mp Ở”C có vec-t ph{p tuy n n'  2;0;1



Gọi φ l| góc giữa hai mặt phẳng ỞCD v| Ở”C , ta có: cos φ 

n.n'
n . n'



1
5. 5



1
5

1
1
2a3
c. Thể tích c a khối chóp Ở.“”CD l| V  SABCD .SA  a2 .2a 
3
3
3
Mp(BCM) cắt SD tại N, ta có:

 BCM    SAD   MN 
 BCM   BC,  SAD   AD  MN∥AD∥BC

1





BC∥AD

Mp(BCM) chia khối chóp th|nh hai phần: khối chóp Ở.”CMN v| khối đa diện còn lại.
1
Thể tích c a khối chóp Ở.”CMN l| V1  SBCMN .d S,  BCM  trong đó:
3



”CMN l| hình thang có đ{y lớn BC  a , đ{y nhỏ MN 

 SBCMN 





a
, chiều cao BM  AB2  AM2  a 2
2

1
1
a
3a2 2
AB  MN  .BM   a   .a 2 

2
2
2
4



d S,  BCM  

2a  a
12  12



1 3a2 2 a
a3
 V1  .
.

3
4
2
2 4

a

Vậy tỉ số thể tích giữa hai phần c a hình chóp Ở.“”CD chia b i mp ”CM l|: k 

BC  AB
 BC   SAB  BM  BC  BM
Chú ý: ta có 
BC  SA
Từ

v|

V1

V  V1



a3
4

3

3

2a
a

3
4



3
5

2

 ”CMN l| hình thang có đư ng cao BM.

Bài . Cho hình hộp chữ nhật “”CD.“’”’C’D’ có AB  AD  a , AA'  b . Gọi M l| trung điểm c a cạnh
CC’.
a. ởính thể tích c a khối t diện ”D“’M.
b. ởìm tỉ số

a
để  A'BD    MBD 
b
Gi i

z

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O  A , c{c tia Ox, Oy, Oz lần
lượt đi qua c{c điểm ”, D, “’. Khi đó A  0;0;0  , B a;0;0  ,

O≡A

M

a. Thể tích c a khối t diện ”D“’M
1
BD,BM  .BA'

6

Trần Đình Cư. Gv TH PT Gia Hội, TP Huế. SĐT:

C'

B'


b
C  a;a;0  , D  0;a;0  , A'  0;0;b  , C'  a;a; b  , M  a;a; 
2

VBDA ' M 

D'

A'

x

B

D

C

12
23

y




 ab ab
b
2
BD   a;a;0  , BM   0;a;    BD,BM   ; ;  a 
2


 2 2

với 
2
3a b



BA'   a;0; b    BD,BM .BA'   2

1
a2 b
BD,BM  .BA' 

6
4

vậy VBDA ' M 

 ab ab

b. Mặt phẳng ”DM có vec-t ph{p tuy n l|: n1   BD,BM    ; ; a2 

  2 2




Mặt phẳng “’”D có vec-t ph{p tuy n l|: n2   BD,BA'  ab;ab;a2





Hai mặt phẳng ”DM v| “’”D vuông góc với nhau
a2 b2 a2 b2
a

 a2  0  a  b   1
2
2
b
Bài . Cho hình chóp Ở.“”CD có chiều cao SA  a , đ{y “”CD l| hình thang vuông tại “ v| ”,
AB  BC  a, AD  2a . Gọi E v| F lần lượt l| trung điểm c a “D v| ỞC.
 n1.n2  0 

a. ởính khoảng c{ch từ “ đ n mp ỞCD v| thể tích c a t diện SBEF.
b. X{c định t}m v| tính b{n kính c a mặt cầu ngoại ti p t diện SCDE.
Gi i
Chọn hệ trục tọa đô Oxyz sao cho O  A , c{c tia Ox, Oy,
Oz lần lượt đi qua c{c điểm ”, D, Ở. Khi đó

z

A  0;0;0  , B a;0;0  , C  a;a;0  ,

S

a a a
D  0;2a;0  , S 0;0;a  , E  0;a;0  , F  ; ; 
2 2 2
x y z

  1 . Mặt
m 2a a
a
a
phẳng n|y đi qua điểm C  a;a;0  nên:

 1  m  2a
m 2a

F

a. Phư ng trình mp ỞCD có dạng:

Vậy phư ng trình c a mp ỞCD l|:

x  y  2z  2a  0





 d A,  SCD  

2a
11 4



x
x
y z

  1 hay
2a 2a a

E

A

D

B

y

C

2a 6
3

Thể tích c a t diện Ở”EF l|: V 

1
SB,SE  .SF

6

a a a
ởa có SB   a;0; a  , SE   0;a; a  , SF   ; ;  
2 2 2

a3 a3 a3 a3
 SB,SE   a2 ;a2 ;a2  SB,SE  .SF    




2 2 2
2



Vậy SSBEF 



1 a3 a3

6 2 12

b. Phư ng trình mặt cầu ngoại ti p t diện ỞCDE có dạng

x2  y2  z2  2Mx  2Ny  2Pz  Q  0
Trần Đình Cư. Gv TH PT Gia Hội, TP Huế. SĐT:

24 13


a2  2Pa  Q  0

a2  a2  2Ma  2Na  Q  0
Mặt cầu đi qua Ở, C, D, E nên 
2
4a  4Na  Q  0
 2
a  2Na  Q  0
a
3a
3a
Giải hệ phư ng trình trên ta có: M   , N   , P   , Q  2a2 .
2
2
2

 a 3a 3a 
Vậy mặt cầu ngoại ti p t diện ỞCDE có t}m I  ; ;  v| b{n kính
2 2 2 

R

a2 9a2 9a2
a 11


 2a2 
4
4
4
2

Bài

. Cho t diện O“”C có c{c tam gi{c O“”, O”C v| OC“ l| c{c tam gi{c vuông đỉnh O. Gọi α, ,

lần lượt l| góc giữa mặt phẳng “”C v| c{c mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Bằng phư ng ph{p tọa
độ hãy ch ng minh:
a. ởam gi{c “”C có ba góc nhọn.
b. cos2 α  cos2  cos2  1
Gi i
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình v .

z

ởa có A  a;0;0  , B 0;b;0  , C  0;0;c , với a  0, b  0, c  0

C

( a  OA , b  OB , c  OC )
a. Ch ng minh tam gi{c “”C có ba góc nhọn

AB   a;b;0  , AC   a;0;c
y

 AB.AC  a2  0

O

Vậy góc “ c a tam gi{c “”C l| góc nhọn.
Ch ng minh tư ng tự, c{c góc ” v| C c a tam gi{c “”C c)ng
l| c{c góc nhọn.

A

b. Ch ng minh cos2 α  cos2  cos2  1
Phư ng trình c a mp “”C l|:

B

x

x y z
  1
a b c

1 1 1
 Mp “”C có vec-t ph{p tuy n l| n   ; ; 
a b c

Mặt phẳng O”C chính l| mặt phẳng Oyz nên có vec-t ph{p tuy n l| i  1;0;0 

α l| góc hợp b i mp “”C v| mp O”C , ta có: cos α 

n.i
n.i



1
a

1

ởư ng tự, ta có cos2 

1
a

2



b

2



b

2

1


1
2

c

 cos2 α 

1
2

a



a2
1
b

2



1
c2

1

2

b
1

2

1
a
1



1
2

c

, cos2 

1
a

2



c2
1
b

2



1
c2

Vậy cos2 α  cos2  cos2  1 đpcm
Trần Đình Cư. Gv TH PT Gia Hội, TP Huế. SĐT:

14
25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×