Tải bản đầy đủ

CHUYEN DE HINH HOC LOP 10 THPT

Hình học lớp 10

Người soạn: Bùi Thiện Chiến

Chƣơng I

VEC-TƠ

I. CÁC ĐỊNH NGHĨA.
1.Định nghĩa.
Vec-tơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã
chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.
Kí hiệu: MN
Trong đó M là điểm đầu, N là điểm cuối.
Vec-tơ -không
Vec-tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vec-tơ –không.
2. Hai vec-tơ cùng phƣơng, cùng hƣớng.
Hai vec-tơ cùng phƣơng: Hai vec-tơ cùng nằm trên hai đường thẳng trùng nhau hoặc
hai đường thẳng song song.
Hai vec-tơ cùng phương thì hoặc chúng cùng hướng hoặc chúng ngược hướng.
Lưu ý: Ta quy ước vec-tơ –không cùng hướng với mọi vectơ.

3. Hai vec-tơ bằng nhau.
Hai vec-tơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
Nếu vec-tơ a và b bằng nhau thì ta viết a  b .
Lưu ý : Vectơ-không kí hiệu 0 .
II. TỔNG CỦA HAI VECTƠ
1. Định nghĩa.
Cho vec-tơ a và b . Lấy một điểm A nào đó rồi xác định điểm B và C sao cho AB  a ,
BC  b . Khi đó vec-tơ AC được gọi là tổng của hai vec-tơ a và b .
Kí hiệu : c  a  b

2. Các tính chất của phép cộng vectơ.
Tính giao hoán : a  b  b  a .
Tính kết hợp : a  b  c  a  b  c .









Tính chất của vectơ-không : a  0  a .
3. Quy tắc.
Quy tắc ba điểm.
Với ba điểm M, N, P bất kì ta luôn có MN  NP  MP .
Quy tắc hình bình hành.
Nếu OABC là hình bình hành thì ta có OA  OC  OB .
4. Kiến thức bổ sung.
M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA  MB  0 .
M là trung điểm đoạn thẳng AB và O là một điểm bất kì thì 2OM  OA  OB .
G là trọng tâm tam giác ABC thì GA  GB  GC  0 .
G là trọng tâm tam giác ABC và O là một điểm bất kì thì 3OG  OA  OB  OC .
Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com

Trang: 1


Hình học lớp 10


Người soạn: Bùi Thiện Chiến

G là trọng tâm tứ giác ABCD và O là một điểm bất kì thì 4OG  OA  OB  OC  OD .

5. Bài tập áp dụng.
1. Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì A, B, C D ta có AC  BD  AD  BC .
2. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính độ dài của vec-tơ tổng AB  AC .
3. Gọi M là trung điểm đoạn thẳng AB. Chứng minh MA  MB  0 .
Giải
0  MM  MA  AM  MA  MB ( Vì AM , MB là hai vec-tơ cùng hướng, cùng độ lớn).
4. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh GA  GB  GC  0 .
III. TỔNG HAI VECTƠ.
1. Vec-tơ đối của một vectơ.
Nếu tổng hai vec-tơ a và b là vectơ-không, thì ta nói a là vec-tơ đối của b , hoặc b là
vec-tơ đối của a .
Nhận xét :
- Hai vec-tơ đối nhau là hai vec-tơ ngược hướng và cùng độ lớn.
- Vec-tơ đối của vec-tơ 0 là vec-tơ 0 .
- Vec-tơ đối của vec-tơ AB là vec-tơ BA .
2. Hiệu của hai vectơ.
Hiệu của hai vec-tơ a và b là tổng của vec-tơ a và vec-tơ đối của vec-tơ b .
Kí hiệu : a  b .

3. Quy tắc hiệu hai vectơ.
MN  ON  OM
4. Bài tập áp dụng.
Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh AB  CD  AD  CB .
Giải
Cách 1. AB  CD  AD  DB  CB  BD  AD  CB  DB  DB  AD  CB
Cách 2. AB  CD  OB  OA  OD  OC  OB  OC  OD  OA  CB  AD
IV. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ.
1. Định nghĩa tích của một số với một vectơ.
Tích của vec-tơ a với số thực k là một vectơ, kí hiệu ka , được xác định như sau:
Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com

Trang: 2


Hình học lớp 10

Người soạn: Bùi Thiện Chiến

- Nếu k  0 thì vec-tơ ka cùng hướng với vec-tơ a .
- Nếu k  0 thì vec-tơ ka ngược hướng với vec-tơ a .
Độ dài vec-tơ ka được kí hiệu k . a .
Phép lấy tích của một số với một vec-tơ với một số gọi là phép nhân vec-tơ với một số.
Nhận xét: a  1.a;  a  1.a
2. Tính chất của phép nhân vec-tơ với một số.
Với hai vec-tơ a, b bất kì và mọi số thực k, l ta có

 





k la   kl  a

k a  b  ka  kb

 k  l  a  ka  la

k  0
ka  0  
a  0

 a  b   ka  kb

Bài tập áp dụng.
1.Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi với điểm M
bất kì, ta có MA  MB  2MI .
Giải.
- I là trung điểm AB. Chứng minh: Điểm M bất kì, MA  MB  2MI .

Áp dụng quy tắc hình bình hành , ta có MA  MB  MD ; mà MD  2MI ( tính chất hình
bình hành ). Suy ra MA  MB  2MI .
- Điểm M bất kì, MA  MB  2MI . Chứng minh: I là trung điểm AB.
Ta có: MA  MB  MI  IA  MI  IB  2MI  IA  IB ; mà MA  MB  2MI (gt).
Suy ra IA  IB  0
Vậy: I là trung điểm của AB.
3. Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm M bất kì, ta có
MA  MB  MC  3MG .
Giải.
MA  MB  MC  MG  GA  MG  GB  MG  GC  3MG  GA  GB  GC  3MG
3. Điều kiện để hai vec-tơ cùng phƣơng.
Vectơ b cùng phương với vec-tơ a a  0 khi và chỉ khi có số k sao cho b  ka .





Điều kiện để ba điểm thẳng hàng.
Điều kiện để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số k sao cho AB  k.AC .
Bài tập áp dụng.
1.Cho tam giác ABC có trực tâm h, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
a. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AH  2OI .
b. Chứng minh OH  OA  OB  OC .
c. Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng.
Giải.
a. Kẻ đường kính AK.
Ta có: BH // CK ( cùng vuông góc KC )
Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com

Trang: 3


Hình học lớp 10

Người soạn: Bùi Thiện Chiến

CH // BK ( cùng vuông góc AB )
Suy ra BHCK là hình bình hành.
Mà I là trung điểm của BC.
Suy ra I là trung điểm IK.
Mà O là trung điểm AK.
Suy ra OI là đường trung bình tam giác AKH.
1
AH  AH  2OI .
2
b. Ta có : OB  OC  2OI ( tính chất hình bình hành ).
Suy ra : OB  OC  AH  OB  OC  OA  AH  OA  OB  OC  OA  AH  AO  OH .
c. OA  OB  OC  3OG  GA  GB  GC  OA  OB  OC  3OG  OH  3OG .
 OI 

Vậy ba điểm O, G, H thẳng hàng.
Đường thẳng đi qua ba điểm này gọi là đường thẳng Ơ-le.
2. Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của đoạn AG và K là điểm
1
5
a. Hãy phân tích AI , AK , CI , CK theo a  CA, b  CB .

trên cạnh AB sao cho AK  AB .

b. Chứng minh ba điểm C, I, K thẳng hàng.
Giải.
a. Kẻ trung tuyến AD của tam giác ABC.
1
1
AD  CD  CA  CB  CA  b  a .
2
2
1
1
1
AI  AD  b  a .
3
6
3
1
1
AK  AB  CB  CA
5
5





b. ( tự giải )
4. Biểu thị một vec-tơ qua hai vec-tơ không cùng phƣơng.
Cho a và b là hai vec-tơ không cùng phương. Khi đó mọi vec-tơ x đều có thể biểu thị
một cách duy nhất qua hai vec-tơ a và b , nghĩa là có duy hất cặp số m và n sao cho
x  na  mb .
V. TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ.
1.Trục tọa độ.
Trục tọa độ ( trục số ) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O và một vectơ i có độ dài bằng 1.
Trong đó :
Điểm O gọi là góc tọa độ, vec-tơ i gọi là vec-tơ đơn vị.
Trục tọa độ được kí hiệu O; i .





Tọa độ của vec-tơ trên trục.
Cho vec-tơ u nằm trên O; i . Khi đó vec-tơ u  ai thì số a được gọi là tọa độ của u









trên O; i .
Tọa độ của điểm trên trục.
Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com

Trang: 4


Hình học lớp 10

Người soạn: Bùi Thiện Chiến





Cho điểm M nằm trên O; i . Khi đó vec-tơ OM  mi thì số m được gọi là tọa độ của





điểm M trên O; i .
Độ dài đại số của vec-tơ trên trục.
Nếu hai điểm A và B nằm trên trục Ox thì tọa độ của vec-tơ AB được kí hiệu là AB
và được gọi là độ dài đại số của vec-tơ AB trên trục Ox.
Trên trục số :
AB  CD  AB  CD
AB  BC  AC  AB  BC  AC

2. Hệ trục tọa độ.
Hai hệ trục Ox và Oy vuông góc với nhau.
Vec-tơ đơn vị trên trục Ox là i , vec-tơ đơn vị trên trục Oy là j .
Điểm O được gọi là góc tọa độ, trục Ox được gọi là trục hoành, trục Oy được gọi là
trục tung.
Hệ trục tọa độ được kí hiệu Oxy hay O; i; j .





Trong một mặt phẳng đã cho ( đã chọn ) một hệ trục tọa độ ta gọi mặt phẳng đó là mặt
phẳng tọa độ.
3. Tọa độ của vec-tơ đối với hệ trục tọa độ.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , nếu a  xi  y j thì cặp số  x; y  được gọi là tọa độ của
vec-tơ a .
Kí hiệu : a   x; y  hay a  x; y  .
Ví dụ : Đối với hệ trục tọa độ
0; i ; j ; i  j ; 2 j  i ;

1
i  3 j;
3

Hai vec-tơ bằng nhau.

O; i ; j  ;

hãy chỉ ra tọa độ của các vec-tơ

3i  0.14 j

 x  x
 y  y

Cho a  x; y  và b  x; y  . a  b  

4. Biểu thức tọa độ của các phép toán vec-tơ.
Cho a  x; y  và b  x; y  .
a  b   x  x; y  y  ; a  b   x  x; y  y 

ka   kx; ky 

Điều kiện hai vec-tơ cùng phƣơng.
Cho a  x; y  và b  x; y  khác vec-tơ 0 .
 x  kx

Vec-tơ a cùng phương với vec-tơ b khi và chỉ khi 
 y  ky
Bài tập áp dụng.
1. Cho a  3; 2  và b  4; 5 .
a. Hãy biểu thị vec-tơ a; b qua hai vec-tơ i; j .
b. Tìm tọa độ của các vec-tơ c  a  b ; d  4a ; u  4a  b .
2. Xét mỗi cặp vec-tơ sau có cung phương không?
a. a  0; 5 ; b  1; 7 
Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com

Trang: 5


Hình học lớp 10

Người soạn: Bùi Thiện Chiến

b. e  4;  8 ; f  0.5; 1
5. Tọa độ của điểm.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tọa độ của vec-tơ OM được gọi là tọa độ của điểm M.
Cặp số  x; y  được gọi là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi OM   x; y  .
Ta viết: M  x; y  hoặc M   x; y  .
Số x được gọi là hoành độ của điểm M, số y được gọi là tung độ của điểm M.
Tọa độ của vec-tơ.
Cho điểm A  xA ; yA  và điểm B  xB ; yB  thì AB   xB  xA ; yB  y A  .
6. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác.
Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng.
M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì xM 
Tọa độ trọng tâm của tam giác.
G là trọng tâm của tam giác ABC thì xG 

xB  xA
y y
; yM  B A .
2
2

xA  xB  xC
y y y
; yG  A B C .
3
3

Bài tập.
1. Tìm tọa độ điểm M  đối xứng với điểm M  7; 3 qua điểm A 1; 1 .
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A 1; 0 ; B  0; 4 ; C 1; 3 .
a. Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của tam giác.
b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác.
3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A  2; 0 ; B  0; 4 ; C 1; 3 .
a. Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của tam giác.
b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác.
c. Tìm tọa độ trung điểm các cạnh của tam giác ABC.
4. Cho a  1;  1 , b   2; 1 . Hãy phân tích c   4; -1 theo a và b .
Giải
 m  2n  4
m  n  1

Giả sử c  ma  nb   m  2n; m  n   

Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com

Trang: 6


Hình học lớp 10

Chƣơng II

Người soạn: Bùi Thiện Chiến

TÍCH VÔ HƢỚNG CỦA HAI VEC-TƠ VÀ ỨNG DỤNG.

I. TỈ SỐ LƢỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ.
1. Định nghĩa.
Nửa đƣờng tròn đơn vị.
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vể phía tung độ dương, ta vẽ đường tròn tâm O, bán kính
R  1 , đường kính thuộc trục xOx . Nửa đường tròn ấy được gọi là nửa đường tròn
đơn vị.
Tỉ số lƣợng giác của một góc bất kì.
Với mỗi góc   0o    180o  , xác định điểm M sao cho MOx   . Giả sử điểm
M  x; y  , ta có
sin   y

cos   x

tg 

y
x

 x  0

cotg 

x
y

 y  0

Chen hình vào
Ví dụ. Tìm giá trị lượng giác của góc 135o .
2. Hệ thức cơ bản.
tan  

sin 
cos

sin 2

cos2

cot  

cos 
sin 

tan .cot

1

1
cos
0
cos2
Chú ý: 0  sin   1;  1  cos   1
1 tan 2

1

sin .cos

1
sin 2

1 cot 2

sin

0

0

3. Tỉ số lƣợng giác một số góc đặc biệt.


0o

30o

45o

60o

90o

180o

sin 

0

1
2

2
2

3
2

1

0

cos 

1

3
2

2
2

1
2

0

-1

tan 

0

3
3

1

3

3

1

3
3

TSLG

cot 

Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com

0
0

Trang: 7


Hình học lớp 10

Người soạn: Bùi Thiện Chiến

4. Tỉ số lƣợng giác hai góc phụ nhau và bù nhau.
Tỉ số lƣợng giác hai góc phụ nhau.
Góc bù nhau

Góc phụ nhau

sin 180o
cos 180o

sin

tan 180o
cot 180o

tan

sin  90o     cos
cos 90o    sin 



cos



tg  90o     cot g
cot g 90o    tg



cot



Bổ sung.
Hai góc hơn kém 180o
sin 180o
sin

cos 180o
tan 180o

tan

cot 180o

cot

Hai góc hơn kém 90o

sin  90o     cos
cos 90o     sin 



cos



tg  90o      cot g
cot g 90o    tg





5. Bài tập áp dụng.
1. Chứng minh rằng
a. sin 2   cos2   1
1
1
  90o 
1  cot g 2  2

  0o 
2
cos 
sin 
2. Cho tan x  5 , tìm các giá trị lượng giác còn lại của góc x.

b. 1  tg 2 

3. Tính giá trị biểu thức.
P  tg1o.tg 2o.tg 4o.tg5o.....tg87o.tg88o.tg89o
Q  cos10o  cos 20o  cos30o  cos 40o  ....  cos150o  cos160o  cos170o
R  cos1o.cos 2o.cos3o.cos 4o....cos178o.cos179o.cos180o

II. TÍCH VÔ HƢỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ.
1. Góc giữa hai véc-tơ.
Cho a  0; b  0 . Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA  a; OB  b .

 

 

Khi đó a, b  AOB với 0o  AOB  180o ; a, b gọi là góc giữa hai véc-tơ a và b .
b

a
O

a

A

b

B

Chú ý:
Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com

Trang: 8


Hình học lớp 10

Người soạn: Bùi Thiện Chiến

 a, b  90  a  b .
 a, b   0  a, b cùng hướng.
 a, b  180  a, b ngược hướng.
 a, b   b, a 
o

o

o

2. Tích vô hƣớng của hai véc-tơ.
Định nghĩa. a. b  a . b cos a, b

 

2

Đặc biệt: a. a  a  a

2

Tính chất.
Với a, b, c và k  .
a.b  b.a

 ka .b  k  a.b   a  kb 
 a  b  a  2a.b  b
a  b   a  b  a  b 
a.b  0   a, b  nhọn
2

2





a. b  c  a.b  a.c

2

2

2

2

a  0; a  0  a  0

a  b

2

2

 a  2a.b  b

2

2

 

 

a.b  0  a, b tù

a.b  0  a, b vuông.

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hƣớng.
Cho a   a1 , a2  ; b   b1, b2  . Khi đó
a.b  a1b1  a2b2

 

cos a, b 

a. b
a.b

a  a12  a22
=

a1b1  a2b2

a  b  a1b1  a2b2  0

a  a22 b12  b22
2
1

Cho A  xA ; yA  , B  xB ; yB  . Khi đó AB 
4. Kiến thức bổ sung.
4.1.Trong ABC :
AB. AC 



 xB  xA 

2

  yB  y A  .
2

 

2
2
2
2
2
1
1
1
AB 2  AC 2  BC 2  
AB  AC  AB  AC 
AB.AC  AB  AC

2
4
2
2







2

Chứng minh. BC  AC  AB  BC  AC  AB khai triển hằng đẳng thức ta được
AB. AC 

1
AB 2  AC 2  BC 2  .

2

4.2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A  xA ; yA  , B  xB ; yB  ; C  xC ; yC  không thẳng
hàng.
- Điểm I  xI ; yI  là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  AI  BI  CI .
x  ?
 AI  BI
tìm  I
.
 AI  CI
 yI  ?

Giải hệ phương trình 

Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com

Trang: 9


Hình học lớp 10

Người soạn: Bùi Thiện Chiến

 AH .BC  0
- Điểm H  xH ; yH  là trực tâm của ABC  
 BH . AC  0
 AH .BC  0
x  ?
Giải hệ phương trình 
tìm  H
.
 yH  ?
 BH . AC  0
 AK .BC  0
- Điểm K  xK ; yK  là chân đường cao AK của ABC  
 BC  k KC
 xK  ?
.
 yK  ?

Giải hệ phương trình ẩn số k  ? tìm 

- Điểm D  xD ; yD  là chân đường phân giác hạ từ đỉnh A . Ta có

BD AB
sử dụng

DC AC

 xD  ?
.
 yD  ?

kiến thức hai véc –tơ bằng nhau để tìm 

III. HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC.
1. Hệ thức lƣợng trong tam giác vuông.
Cho ABC có BC  a AB  c AC  b AH  h BH  c HC  b
Ta có:
a 2  b2  c 2
h2  b.c
b2  ab
c 2  a.c
1
1 1
1
1
a.h  b.c
 2  2 S  a.h  b.c
2
h
b c
2
2

A

C

B

Tỉ số lƣợng giác.

H

b  a sin B  a cos C  c tan B  c cot C

c  a sin C  a cos B  b tan C  b cot B

2. Hệ thức lƣợng trong tam giác thƣờng.
Cho ABC có
A
- BC  a AB  c AC  b .
- Ba đường cao kẻ từ A, B, C lần lượt là: hA , hB , hC .
- Ba đường trung tuyến kẻ từ A, B, C lần lượt là: mA , mB , mC .
C
B
H D M
- Ba đường phân giác kẻ từ A, B, C lần lượt là: lA , lB , lC .
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp tam giác lần lượt là: R, r.
- Đường trong bàng tiếp ABC : Đường tròn có tâm nằm trên đường phân giác của một
góc và tiếp xúc ngoài với ba cạnh của tam giác. Trong đó rA , rB , rC là bán kính đường
tròn bàng tiếp có tâm nằm trên đường phân giác góc A, góc B, góc C.
- Chu vi : P
Nửa chu vi : p  P : 2 .
Định lí côsin.
a 2  b2  c 2  2bc.cos A

b 2  a 2  c 2  2ac.cos B

c 2  a 2  b 2  2ab.cos C

Định lí sin.
Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com

Trang: 10


Hình học lớp 10

Người soạn: Bùi Thiện Chiến

a
b
c


 2R
sin A sin B sin C

Độ dài đƣờng trung tuyến.
m 
2
a

2  b2  c 2   a 2

m 
2
b

4

2  a 2  c 2   b2
4

m 
2
c

2  a 2  b2   c 2
4

Một số công thức bổ sung.
tan

A
r
r

 A
2 pa p

tan

a  hA  cot B  cot C 

B
r
r

 B
2 p b p

b  hB  cot A  cot C 

tan

C
r
r

 C
2 pc p

c  hC cot A  cot B 

Diện tích tam giác.
1
1
1
1
1
1
abc
S  a.hA  b.hB  c.hC  ab.sin C  ac.sin B  bc.sin A 
2
2
2
2
2
2
4R
S  pr   p  a  rA   p  b  rB   p  c  rC  p  p  a  p  b  p  c 

S ABC 



1
AB2 . AC 2  AB. AC
2



2

Hệ thức lƣợng trong đƣờng tròn.
Cho đường tròn ( O, R ) và điểm M cố định.
- Từ điểm M vẽ hai cát tuyến MAB và MCD.
PM / O  MA.MB  MC.MD  MO2  R 2
- Từ điểm M vẽ tiếp tuyến MT.
2

PM / O  MT  MO2  R2

Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com

Trang: 11


Hình học lớp 10

Người soạn: Bùi Thiện Chiến

Chƣơng III

PHƢƠNG PHÁP TẠO ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG.

I. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG.
1. Định nghĩa véc-tơ.
Véc-tơ chỉ phƣơng.
a được gọi là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng
giá trùng hoặc song song với đường thẳng

Lƣu ý: n

a; b

a

b; a

a

0 và a có

.

Véc-tơ chỉ phƣơng.
n được gọi là véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng
véc-tơ n vuông góc với đường thẳng

khi và chỉ khi a

khi và chỉ khi n

0 và giá của

.

b; a

2. Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng.
Định nghĩa.
Trong mặt phẳng tọa độ, phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng
Ax

trong đó: A2

B2

By

0 và có VTPT n

C

0

A; B .

Định lí.
qua M xo ; yo và có VTPT n
:A x

xo

B y

yo

A; B

0

Lưu ý:
i.
qua M xo ; yo và có VTPT n

A;0

:x

ii.

0; B

:y

qua M xo ; yo và có VTPT n

xo
yo

iii. Hai đường thẳng vuông góc thì tọa độ vec-tơ chỉ phương của đường thẳng này là

tọa độ vec-tơ pháp tuyến của đường thẳng kia.
Các trƣờng hợp đặc biệt.
Các hệ số Phƣơng trình đƣờng thẳng

.

Tính chất đƣờng thẳng

A

0

By

C

0

// Ox

Ox

B

0

Ax

C

0

// Oy

Oy

C

0

Ax

By

0

đi qua gốc tọa độ O

.

Phƣơng trình đƣờng thẳng theo đoạn chắn.
Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com

Trang: 12


Hình học lớp 10

Người soạn: Bùi Thiện Chiến

qua A a ;0 và B 0 ; b
:

x
a

y
b

0

Phƣơng trình đƣờng thẳng theo hệ số góc ( hsg ) k.
qua A a ;0 và hsg : k
:y

yo

k x

xo

+ Hệ số góc k.
là góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox theo chiều dương- ngược
k tan với
chiều kim đông hồ.
tan 1 a .
là góc nhọn và
k 0
180o tan 1 a .
là góc tù và
k 0
k 0
0o khi đó
// Ox
Ox .

Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng.
Ví dụ. Lập phương trình đường thẳng
. Biết
Giải.
VTCP a AB 3;4
VTPT n 4; 3 .
qua A

2;0 và có VTPT n

:4 x

2

: 4x

3y

3 y
8

0

đi qua A

2;0 và B 1;4 .

4; 3

0

0

Ví dụ. Cho tam giác ABC có ba đỉnh A 1; 1 , B 1;3 , A 2; 4 .
a. Viết phương trình tổng quát ba cạnh của tam giác.
b. Viết phương trình tổng quát của ba đường cao trong tam giác tam giác.
c. Viết phương trình tổng quát của ba đường trung tuyến trong tam giác tam giác.
( tự giải).
Ví dụ. Cho A 1;2 , B 3;4 . Tìm điểm C trên đường thẳng d : x 2 y 1 0 sao cho
tam giác ABC vuông tại C.
Giải.
Gọi C xc ; yc .
C xc ; yc

d

C 2 yc

1; yC

Tam giác ABC vuông tại C

CACB
.

CA.CB

2

0

Vậy C 3;2

2 yc 4

C

2 yc

0.

yc 4

yc

0

yc

2

yc

4
5

3 4
; .
5 5

Ví dụ. Lập phương trình đường thẳng các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C 4; 1 ,
đường cao và đường trung tuyến lần lượt có phương trình là 2 x 3 y 12 0;
Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com

Trang: 13


Hình học lớp 10

2x

3y

Người soạn: Bùi Thiện Chiến

0.

Giải
A

B

H

C

M

Ta có.
AH : 2 x 3 y 12

0; AM : 2 x

VTPT n AH

VTCPa AH

2; 3

3y

0.

3;2

+ Viết phương trình đường thẳng BC .
Dạng PTTQ của BC : Ax
BC

AH

VTCPa AH

BC đi qua C 4; 1

Vậy BC : 3x

By

C

0
3;2 .

VTPT n BC

3.4

2.

1

C

0

C

10

0.

2 y 10

+ Viết phương trình đường thẳng AC .
2x
2x

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
Tọa độ điểm A
AC

7; 3
3

0

x
y

3
2

.

3;2 .

VTPT n AC

AC đi qua điểm A
3

3 y 12
3y 0

3;7

3;2 và có VTPT n AC

7.2

C

0

C

Vậy AC : 3x

7y

5

0.

3;7

5

+ Viết phương trình đường thẳng

AB .
2x
3x

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình

3y 0
2 y 10

0

x
y

6
4

Tọa độ điểm M 6; 4 .
M 6; 4 là trung điểm của BC

xB
yB

2 xM
2 yM

xC
yC

xB

2.6 4

yB

2

4

8
1

7

Tọa độ điểm B 8; 7
AB

11; 9

VTPT n AB

AB đi qua điểm A
9.

3

11.2

9;11

3;2 và có VTPT n AB

C

0

C

Vậy AB : 9x 11y

5

0.

9;11

5

Ví dụ: Cho đường thẳng
1 : 2x
tạo bởi đường thẳng và trục Ox .

2y 1

Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com

0;

2

: 3x

y

5

0 . Tính số đo góc
Trang: 14


Hình học lớp 10

Người soạn: Bùi Thiện Chiến

Giải
1

k

: 2x

2y 1

1

2

tan
: 3x y

0

1

:y

x

1
tan
5 0 ( tự giải)

1

1
2
180o

135o

3. Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng.
Định nghĩa.
Trong mặt phẳng tọa độ, phương trình tham số của đường thẳng, với tham số t có dạng
x
y

trong đó: a 2

b2

xo
yo

at
bt

0 và có VTCP a

a; b .

Định lí.
qua M xo ; yo và có VTCP a
:

x
y

xo
yo

a; b

at
bt

Ví dụ. Lập phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua M
Giải.
qua M 2;3 và có VTCPa
5; 1
PTTS

:

x
y

2

5t

2;3 , VTCPa

5; 1

t

3 t

4. Phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng.
Định nghĩa.
Trong mặt phẳng tọa độ, phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng
x

xo
a

y

yo
b

trong đó: ab 0 và có VTCP a a; b .
+ Lƣu ý: Khi a 0 b 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc.
Định lí.
qua M xo ; yo và có VTCP a
:

x

xo
a

y

a; b

yo
b

Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua A xA ; yA ; B xB ; yB .
AB :

x xA
xB xA

y yA
yB y A

Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com

Trang: 15


Hình học lớp 10

Người soạn: Bùi Thiện Chiến

Ví dụ. Lập phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua M

2;3 , VTCPa

qua M
PTCT

:

2;3 và có VTCPa
x

2

y

5

5; 1

3
1

Ví dụ. Viết phương trình đường thẳng đi qua A 4; 1 ; B

x 4
3 4

AB :

5; 1

y 1
2 1

AB :

x 4
7

3;2 .

y 1
3

Chuyển phƣơng trình tổng quát sang phƣơng trình tham số; phƣơng trình chính
tắc.
+ PTTQ của đường thẳng
ĐK: A2 B 2 0 .
: Ax By C 0

VTPT n

A; B

VTCP a

B; A

+ Chọn điểm M xo ; yo
+ Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng
qua M xo ; yo và có VTCP a

.

B; A

Chuyển đổi giữa phƣơng trình tham số; phƣơng trình chính tắc sang phƣơng
trình tổng quát.
+ PTTS của đường thẳng

:

PTCT của đường thẳng

VTCP a

a; b

:

x
y
x

VTPT n

xo
yo
xo

a

at
;
bt
y yo
b

b; a

+ Chọn điểm M xo ; yo
+ Lập phương trình tổng quát của đường thẳng
qua M xo ; yo và có VTPT n

.

b; a .

Ví dụ. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của đường thẳng đi qua điểm M
hsg : k
2.
Giải.
qua M 3; 1 và có hsg : k
2

:y 1
: 2x

PTTQ

3

y

5

0

: 2x

y

5

VTPT n
M

2 x

3;1

2;1

3;1 và có

0
VTCPa
M

1; 2

3;1

Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com

Trang: 16


Hình học lớp 10

Người soạn: Bùi Thiện Chiến

qua M
PTTS

:

PTCT

:

3;1 và có VTCPa
x
y
x

3 t
1 2t
3
1

1;2

t

y 1
2

Tìm điểm M xM ; yM

đối xứng với N xN ; yN qua đƣờng thẳng

+ Lập phương trình đường thẳng

1

+ Tìm giao điểm I của đường thẳng

đi qua điểm N xN ; yN và



1

.
1

.

.

+ M xM ; yM đối xứng với N xN ; yN qua đường thẳng
I là trung điểm của
MN. Dùng công thức trung điểm của đoạn thẳng tìm tọa độ điểm M.
Ví dụ. Cho
: x 2 y 5 0 , tìm tọa độ điểm N đối xứng với M 2; 2 .
Giải.
2; 2 và 1
y 0.
1 đi qua điểm M
1 : 2x
Tìm giao điểm I của đường thẳng
N đối xứng với M

xI
yI

xM

2; 2

1

được I 1; 2 .



I là trung điểm của MN.

xN
2

yM

yN

xN
yN

4
6

2
Vậy: N 4;6 .
Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d
thẳng

đối xứng với đƣờng thẳng d qua đƣờng

.

Trƣờng hợp d / /

.

+ Chọn M xM ; yM

d .
+ Tìm tọa độ điểm M đối xứng với M qua đường thẳng
+ Viết phương trình đường thẳng d

.

đi qua điểm M và có VTPT n d

VTPT n .

Trƣờng hợp d

I .
d với M I .
+ Chọn M xM ; yM
+ Tìm tọa độ điểm M đối xứng với M qua đường thẳng
+ Viết phương trình đường thẳng d

đi qua điểm M và có VTPT n d

Ví dụ. Lập phương trình đường thẳng d
thẳng

a. d : 2 x

.

VTPT n d .

đối xứng với đường thẳng d qua đường

.

y 1 0

b. d : 2 x 3 y 1 0
Giải.

: 3x

4y

2

0

: 2x 3y 1 0

Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com

Trang: 17


Hình học lớp 10

Người soạn: Bùi Thiện Chiến

a.
Tìm giao điểm I của d và

được I

6
1
.
;
11 11

Chọn M 0;1

d .
Viết phương trình
1 đi qua điểm M 0;1 vuông góc với đường thẳng
3y 3 0
1 : 4x
Tìm giao điểm N của

1

được N



.

18 1
.
;
25 25

Tọa độ điểm M đối xứng với M qua N.
Lập phƣơng trình các cạnh của tam giác.
- Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết phương trình chứa cạnh BC;
phương trình đường cao xuất phát từ đỉnh B, đỉnh C của tam giác.

B
AC :
A

BC

BB

qua C xC ; yC
AC
AC

BB

C
AB :

BC

CC

qua B xB ; yB
AB

CC

AB

- Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết tọa độ đỉnh A; phương trình
đường cao xuất phát từ đỉnh B, đỉnh C của tam giác.

AC :
B
BC :

qua A xA ; y A
AC
AB

BB
BB

AB :
C

qua A xA ; y A
AB
AC

CC
CC

qua B xB ; yB
qua C xC ; yC

- Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết tọa độ đỉnh A; phương trình
đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B, đỉnh C của tam giác.
Mô tả:
- Dựng A’ đối xứng với A qua trọng tâm G.
- Ta có GA’ và BC cắt nhau tại trung điểm S.
- Suy ra BGCA’ là hình bình hành.
- Suy ra BA’ song song CN; CA’ song song BM.

Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com

Trang: 18


Hình học lớp 10

Người soạn: Bùi Thiện Chiến

G

CN

BM

A

GA

DG : A

GA

qua A xA ; y A

AC :

AB :

A C / / BM

B

AB

AB

C

N

CN

AB

M

xA
yA

2 xN
2 yN

BC :

AB :

xB
yB

xA
yA

qua B xB ; yB
qua C xC ; yC

; AC :

qua A x A ; y A
AB / / CN
AC

AC

AC
2 xM
2 yM

BM
xC
yC

qua A x A ; y A
qua C xC ; yC

qua B xB ; yB
qua A x A ; y A

- Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết phương trình hai cạnh của tam
giác AB , AC ; trung điểm M của cạnh còn lại BC của tam giác.

d1 :

qua M xM ; yM
d1 / / AB

N

d1

xB
yB

2 xN
2 yN

BC :

AC
xA
yA

d2 :
M
xC
yC

qua M xM ; yM
d 2 / / AC
d2

AB

2 xM
2 yM

xA
yA

qua B xB ; yB
qua C xC ; yC

Bài tập áp dụng.
1. Cho tam giác ABC, biết phương trình

AB : 4 x

y 12

0 , phương trình hai

đường cao

BB :5x 4 y 15 0, CC : 2 x 2 y 9 0 . Viết phương trình các
cạnh còn lại của tam giác ABC.
2. Cho tam giác ABC, biết tọa độ đỉnh A 3;0 , phương trình hai đường cao

BB :3x 12 y 1 0, CC : 2 x 2 y 9 0 . Viết phương trình các cạnh còn lại
của tam giác ABC.
3. Cho tam giác ABC, biết tọa độ đỉnh A 1;3 , phương trình đường trung tuyến
BM : x 2 y 1 0, CN : y 1 0 . Viết phương trình các cạnh còn lại của tam
giác ABC.
Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com

Trang: 19


Hình học lớp 10

4. Cho tam giác ABC, biết phương trình

Người soạn: Bùi Thiện Chiến

AB : x 2 y

7

0 , phương trình hai

đường trung tuyến AM : x y 5 0, BN : 2x y 11 0 . Viết phương trình các
cạnh còn lại của tam giác ABC.
5. Cho tam giác ABC, có M 1,1 là trung điểm của BC phương trình hai cạnh

AB : 2x y 2 0, AC : x 3 y 3 0 . Viết phương trình các cạnh còn lại của
tam giác ABC.
6. Cho tam giác ABC, có A 2; 7 , phương trình đường cao BH :3x y 11 0 ,
phương trình đường trung tuyến CN : x 2 y 7 0 . Viết phương trình các cạnh
còn lại của tam giác ABC.
Hướng dẫn:
- Viết phương trình đường thẳng (AC) đi qua A và vuông góc đường thẳng (BH).
- C là giao điểm đường thẳng (AC) và đường thẳng (CN).
-

Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com

Trang: 20



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×